Se presupune prin metoda falsei ipoteze ca fiecare curcan are 4 picioare — Image Credit: © Anda Maxim / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

Generalități

Metoda falsei ipoteze este o medodă aritmetică de rezolvare a problemelor de matematică la nivelul programei de clasa a 5-a. Practic este o medodă ce se poate aplica cu succes în rezolvarea intuitivă a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute ce pot avea ca valori doar numere naturale.

În general, aceste probleme conțin două tipuri de obiecte (necunoscute) ce au caracteristici diferite. Se cunoaște numărul total de obiecte. Se mai cunoaște suma care cuantifică caracteristicile tuturor obiectelor. Cerința este să se afle numărul individual de obiecte de fiecare tip.

Explicații

Notăm cu x și cu y mărimile necunoscute (obiectele). Notăm cu a respectiv cu b ( unde $a \neq b$ ) numerele care cuantifică fiecare tip de obiect. Notăm cu $S_{1}$ și cu $S_{2}$ sumele cunoscute. Astfel, problema se poate transcrie ca un sistem de două ecuații de gradul întâi, cu două necunoscute ce au ca rezultate posibile doar numere naturale:

$x+y=S_{1} \hspace{11mm} (1)$
$ax+by=S_{2} \hspace{7mm} (2)$

Dacă înmulțim prima ecuație cu -b și apoi adunăm cele două ecuații, vom avea:

$-bx+ax-by+by=-bS_{1}+ S_{2} \Rightarrow$

$x=\frac{S_{2}-bS_{1}}{a-b}=\frac{bS_{1}-S_{2}}{b-a}$

Printr-un raționament asemănător, înmulțind prima ecuație cu -a și apoi adunăm cele două ecuații, vom obține :

$y=\frac{S_{2}-aS_{1}}{b-a}=\frac{aS_{1}-S_{2}}{a-b}$

Raționament

Explicațiile de mai sus, de aflare a soluției problemei este specific elevilor de clasa a 7-a sau mai mari. La nivelul clasei a 5-a, problema se poate rezolva prin metoda falsei ipoteze. Aceasta metodă constă în a face o presupunere asupra unei mărimi necunoscute ( presupunem x ) atribuindu-se (în mod fals) caracteristica celeilalte mărimi necunoscute ( exprimată prin b ). Astfel se presupune în mod fals ca toate obiectele au doar o caracteristică ( în acest caz b ).

Acest lucru nu se face cu intenția de a nimeri răspunsul, ci pentru a descoperi “cât de eronat” ar fi în acest caz răspunsul la problemă comparativ cu valoarea reală ( în acest caz $S_{2}$ ). Ne vom folosi de această “eroare” pentru că ea este dată chiar diferența celor două numere care cuantifică caracteristicile ( în acest caz b–a ) înmulțită cu mărimea la care s-a atribuit în mod fals caracteristica cealaltă ( în acest caz x ). Astfel, îl vom putea calcula ușor pe x. Apoi îl aflăm ușor pe y .

Algoritm

Să presupunem că b > a.

Presupunem (în mod fals) că toate obiectele au caracteristica b. Putem scrie:
$bx + by = S_{3} \hspace{15mm} (3)$

Deoarece b > a avem în baza ecuației (2):
$S_{3} > S_{2} \Rightarrow S_{3} = S_{2} + \Delta$

Ecuația (3) se poate rescrie astfel:
$bx + by = S_{2} + \Delta \hspace{7mm} (4)$

Dacă înmulțim ecuația (1) cu b, obținem:
$bx+by=bS_{1} \hspace{14mm} (5)$

Egalând ecuațiile (4) și (5), vom obține:
$S_{2} + \Delta = bS_{1} \Rightarrow \Delta = bS_{1} - S_{2}$

Dacă scădem termenii din ecuația (4) cu termenii din ecuația (2), vom avea:
$(b-a)x = \Delta \Rightarrow x = \frac{\Delta}{b-a} = \frac{bS_{1}-S_{2}}{b-a}$

Cunoscându-l pe x, îl vom putea afla ușor pe y ca fiind:
$y=S_{1}-x$

Acest algoritm de rezolvare prin metoda falsei ipoteze se poate înțelege mult mai ușor prin rezolvarea concretă a câtorva probleme.

Exemplu 1 de problemă rezolvată

Într-o pivniță avem depozitați 200 litri de vin în 44 vase de sticlă de 5 litri respectiv de 1 litru. Câte vase din fiecare tip avem?

Rezolvare

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate vasele ar fi de 5 litri fiecare. În acest caz în toate vasele ar încăpea
44 x (5 litri) = 220 litri de vin.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu cantitatea totală reală și se obține diferența
(220 litri) – (180 litri) = 40 litri de vin.

Diferența provine din faptul că toate vasele de 1 litru existente le-am considerat ca fiind de 5 litri, deci mai mari cu 4 litri fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de vase (la care am adaugat în mod fals câte 4 litri), au apărut un plus de 40 litri (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea
(40 litri) : (4 litri) = 10

Deci vom avem 10 vase. Acestea sunt vasele de 1 litru existente.

Astfel vom putea calcula numărul celălalt de vase, adică cele de 5 litri
44 – 10 = 34

Verificare:
10 x (1 litru) + 34 x (5 litri) = 10 litri + 170 litri = 180 litri

Exemplu 2 de problemă rezolvată

Pentru pregătirea la olimpiada de matematică, Andrei a rezolvat complet 70 de probleme care aveau 3 întrebări sau 5 întrebări fiecare. Cunoscându-se faptul că Andrei a dat răspunsuri la un total de 270 de întrebări, calculați câte probleme conțin 3 întrebări și câte probleme conțin 5 întrebări.

Rezolvare

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate problemele ar fi cu 5 întrebări fiecare. Numărul total de întrebări în acest caz ar fi de
70 x (5 întrebări) = 350 întrebări.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu numărul total de întrebări (din realitate) și se obține diferența
(350 întrebări) – (270 întrebări) = 80 întrebări.

Diferența provine din faptul că toate problemele cu 3 întrebări le-am considerat ca fiind cu 5 întrebări, deci mai “mari” cu 2 întrebări fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de probleme (la care am adaugat în mod fals câte 2 întrebări), au apărut un plus de 80 întrebări (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea
(80 întrebări) : (2 întrebări) = 40

Deci vom avem 40 probleme. Acestea sunt problemele cu 3 întrebări existente.

Astfel vom putea calcula numărul celălalt de problemele, adică problemele cu 5 întrebări
70 – 40 = 30

Verificare:
40 x (3 întrebări) + 30 x (5 întrebări) = 120 întrebări + 150 întrebări = 270 întrebări

Exemplu 3 de problemă rezolvată

Radu trebuie să hrănească toate cele 98 de animale de la ferma bunicului. Se cunoaște că la fermă cresc doar curcani și porci vietnamezi, iar numărul total de picioare al tuturor animalelor de la fermă este de 242. Calculați numărul de curcani și numărul de porci vietnamezi.

Rezolvare

Se cunoaște că un curcan are două picioare iar un porc are 4 picioare. Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate animalele de la fermă ar fi porci vietnamezi, adică ar avea 4 picioare fiecare. În acest caz numărul total de picioare în toată ferma ar fi de
98 x (4 picioare) = 392 picioare.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu numărul total de picioare (din realitate) și se obține diferența
(392 picioare) – (242 picioare) = 150 picioare.

Diferența provine din faptul că toate animalele cu 2 picioare le-am considerat ca fiind cu 4 picioare, deci mai “mult” cu 2 picioare fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de animale (la care am adaugat în mod fals câte 2 picioare), au apărut un plus de 150 picioare (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea
(150 picioare) : (2 picioare) = 75

Deci vom avem 75 animale din fermă care au în realitate 2 picioare, adică curcanii.

Acum vom putea calcula numărul celălalt de animale, adică numărul de porci vietnamezi, care au 4 picioare
98 – 75 = 23

Verificare:
75 x (2 picioare) + 23 x (4 picioare) = 150 picioare + 92 picioare = 242 picioare

Probleme propuse a se rezolva prin metoda falsei ipoteze

Problema 1. La o piesă de teatru s-au vândut toate cele 180 bilete disponibile și s-au încasat în total 12800 lei. Știind că prețul unui bilet la lojă este de 100 lei iar prețul unui bilet în sală este de 60 lei, calculați numărul de scaune sunt din sală și numărul de scaune de la lojă.

Problema 2. Într-un cartier rezidențial s-au construit 70 de case noi. Se știe că sunt 250 camere în total, iar casele pot fi cu 3 camere sau cu 5 camere fiecare. Câte case cu 5 camere sunt?

Problema 3. Mihai are 27 caiete. Caietele pot fi cu 48 file sau cu 100 file. Dacă toate caietele conțin 1764 file, calculați câte caiete cu 100 sunt.

Problema 4. În cadrul programului național “Școala altfel”, elevii unei clase au participat o zi la cules de cireșe. Aceștia au cules o cantitate de 110 kg cireșe. Pentru a depozita cireșele, șeful fermei le-a dat elevilor un număr de 30 lădițe în care încap 3 kg sau 5 kg de cireșe. Calculați câte lădițe de fiecare tip au primit elevii.

Problema 5. Anda are în portofelul ei 91 lei sub formă de bancnote de 1 leu și bancnote de 5 lei. Dacă se cunoaște faptul că sunt în total 27 bancnote, să se calculeze câte bancnote de fiecare tip sunt?

Soluțiile la aceste cinci probleme le găsiți în secțiunea probleme rezolvate prin metoda falsei ipoteze.

Test online cu probleme ce se pot rezolva prin metoda falsei ipoteze

Sorin Borodi vă propune un test online de verificare a cunoștințelor dobândite rezolvând 10 probleme în 60 de minute. La finalul testului veți afla punctajul realizat. În cazul în care la o problemă veți răspunde greșit, veți primi un mesaj de eroare. Pentru fiecare problemă rezolvată corect veți primi un punctaj corespunzător. Succes!

MATEMATIKA

EXPLICATII | PROBLEME | TESTE

Metoda falsei ipoteze

Explicații. Exemple rezolvate. Probleme propuse.

Generalități

Explicații

Raționament