Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2014

Rezolvare și explicații

2014 0
Prisma triunghiulara dreapta la evaluarea nationala 2014 clasa a 8-a.
Image Credit: © Maxim Marcel / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2014.

Exercițiile și problemele date în 2014 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de înmulțire, apoi cea de scădere. Vom avea:

12-6 \cdot 2=12-12=0

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea unui număr dacă se știe că 10 reprezintă 50% din numărul respectiv:

y=\displaystyle\frac{10}{50\%}=\displaystyle\frac{10}{0,5}\ \Rightarrow\ \boxed{\ y=20\ }

Exercițiul nr.3

Cel mai mare număr natural n pentru care n mai mic sau egal ca 8 este 8

n \in \mathcal{N}\ si\ n \leq 8\ \Rightarrow\ n \in [0\ ;\ 8]\ \Rightarrow\ \boxed{\ n_{max}=8\ }

Exercițiul nr.4

Aria suprafeței unui romb ABCD care are diagonalele d1 = AC = 6 cm și d2 = BD = 8 cm este:

\mathnormal{A_{ABCD}}=\displaystyle\frac{d_1 \cdot d_2}{2}\ \Rightarrow \mathnormal{A_{ABCD}}=\displaystyle\frac{(6\ cm) \cdot (8\ cm)}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathnormal{A_{ABCD}}=24\ cm^2\ }

Exercițiul nr.5

Se consideră un tetraedru regulat ABCD ce are lungimea oricărei muchii l = 8 cm. Suma Σ tuturor lungimilor muchiilor este:

\Sigma=6 \cdot l\ \Rightarrow \Sigma=6 \cdot (8\ cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ \Sigma=48\ cm\ }

Exercițiul nr.6

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-o diagramă radială, precum și efectuarea unor calcule algebrice.

Notăm cu:
i = numărul elevilor care optează să studieze limba italiană => i = 15
f = numărul elevilor care optează să studieze limba franceză => f = 27
e = numărul elevilor care optează să studieze limba engleză => e = 45
s = numărul elevilor care optează să studieze limba spaniolă => s = ?

Se știe că i + f + e + s = 100 rezultă că s = 100 – (i + f + e)

Înlocuind numeric vom avea s = 100 – (15 + 27 + 45) și rezultă că s = 13.

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Are ca și cerință desenarea unei prisme triunghiulare drepte ABCA’B’C’ cu baza ABC triunghi echilateral. Vezi imaginea reprezentativa cu prisma triunghiulara dreapta.

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea mediei geometrice a două numere reale a și b. Numerele a și b sunt:

a=2^3+1=8+1=9

b=3+3:3=3+1=4

Media geometrică mg este:

\mathnormal{\ m_g}=\sqrt{a \cdot b\ }

Calcul numeric:

\mathnormal{m_g}=\sqrt{9 \cdot 4}\ \Rightarrow \mathnormal{m_g}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{4}\ \Rightarrow \mathnormal{m_g}=\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^2}\ \Rightarrow \mathnormal{m_g}=3 \cdot 2\ \Rightarrow\ \boxed{\ m_g=6\ }

Exercițiul nr.3

În acest exercițiu se cere să se calculeze lungimea unui drum parcurs în trei zile. Se știe că în prima zi se parcurge 20% din lungimea totală a drumului. Se știe că în a treia zi se parcurge 30% din restul rămas după prima zi de mers. Se mai știe că în a treia zi se parcurg ultimii 560 km.

Vom nota cu X = lungimea drumului ce se parcurge în cele trei zile; Exprimăm enunțul literar al problemei în ecuații matematice:

Vom mai nota cu:
d1 = distanța totală parcursă în ziua 1
d1 = distanța totală parcursă în ziua 2
d1 = distanța totală parcursă în ziua 3

Este evident faptul că: d1 + d2 + d3 = X

Ziua 1
Se parcurge în total: d1 = (20%)X
La finalul zilei 1 rămîne de parcurs: d2 + d3 = X – d1 = (80%)X

Ziua 2
Se parcurge în total: d2 = (30%)(d2 + d3) = (30%)(80%)X = (24%)X
La finalul zilei 2 rămîne de parcurs: d3 = X – (d1+d2) = X – (20%)X – (24%)X = (56%)X

Ziua 3
Se parcurge în total: d3 = (56%)X = 560 km
La finalul zilei 3 rămîne nu mai rămâne de parcurs nici o distanță.

56\% \cdot x=56\ km\ \Rightarrow\ x=\displaystyle\frac{560\ km}{56\%}\ \Rightarrow\ x=\displaystyle\frac{560\ km}{\displaystyle\frac{56}{100}}\ \Rightarrow\ x=(10\ km) \cdot 100\ \Rightarrow

\boxed{\ x=1000\ km\ }

Exercițiul nr.4

Se consideră funcția definită în mulțimea numerelor reale cu valori în mulțimea numerelor reale:

f:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R} ,\ f\left(x\right)=x-2

a) Are ca și cerință calcularea valorii f(2)

Înlocuim pe x cu 2 și obținem f(2) = 2 – 2 = 0

b) Are ca și cerință reprezentarea grafică a funcției f de gradul 1 de mai sus într-un sistem de coordonate cartezian x0y.

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2014.
Evaluarea nationala 2014 clasa a 8-a – exercitiul 4 de la subiectul 2

Se știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x0y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi=f(xi)=xi-2, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă care reprezintă graficul funcției f(x) de mai sus.

fie x1 = 0 atunci y1 = f(x1) = 0 – 2 =-2 => primul punct A este de coordonate (0; -2) cu notația A(0; -2)
fie x2 = 2 atunci y2 = f(x2) = 2 – 2 = 0 => al doilea punct B este de coordonate (2; 0) cu notația B(2; 0)

Dreapta AB în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următoarea expresie E(x) = 1, oricare ar fi x un număr real cu excepția numerelor -2 și 0.

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x^2+4 \cdot x+4}{x \cdot (x+2)} : \bigg( 1+\displaystyle \frac{2}{x} \bigg)\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x+2)^2}{x \cdot (x+2)} : \bigg( \displaystyle\frac{x+2}{x} \bigg)\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x+2)^2}{x \cdot (x+2)} \cdot \displaystyle\frac{x}{x+2}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x+2)^2 \cdot x}{x \cdot (x+2)^2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathit{E(x)}=1\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
Se cunoaște schița unui covor în formă de dreptunghi ABCD ce are lungimea laturii AD = 2 m. În interiorul dreptunghiului există un punct O astfel încât triunghiul AOD este echilateral, iar măsura unghiului BOC este egală cu dublul măsurii unghiului AOD. Se cunoaște că radical din 3 este mai mic decât 1,74

Concluzie:

a) Calculați perimetrul triunghiului AOD.

b) Arătați că distanța de la O la BC este \sqrt{3}/3\ m

c) Verificați că lungimea conturului covorului este mai mică decât 9 metri.

Demonstrație:
Figura geometrica la problema 1 din subiectul 3 data la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a in anul 2014.
Evaluarea nationala 2014 clasa a 8-a – problema 1 de la subiectul 3
subpunctul a)

Notăm latura triunghiului echilateral AOD cu l => l = AD = AO = OD. Perimetrul p a triunghiului AOD este:

p=3 \cdot l\ \Rightarrow\ p=3 \cdot (2\ m)\ \Rightarrow\ \boxed{\ p=6\ m\ }

subpunctul b)

FIe dreapta d ce trece prin punctul O și este paralelă cu latura AB. Această dreaptă d intersectează laturile (AD) și (BC) în punctele M și N. În acest caz, figurile geometrice ABNM și MNCD vor fi dreptunghiuri.

Deoarece OM este înălțime în triunghiul echilateral OAD, atunci OM este și mediană și bisectoare.
În acest caz putem scrie că măsura unghiului MOA este de 30 grade și că AM = DM = l/2 => BN = CN = l/2.

În triunghiul OBC, segmentul ON este și înălțime și mediană, rezultă că triunghiul OBC este isoscel, rezultă că ON este și bisectoare. În acest caz putem scrie că măsura unghiului NOB este de 60 grade => măsura unghiului OBN este de 30 grade.

Triunghiul NOB este asemenea cu triunghiul MAO => 

\displaystyle\frac{NO}{MA}=\displaystyle\frac{NB}{MO}\ \Rightarrow\ \displaystyle\frac{h}{\displaystyle\frac{l}{2}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{l}{2}}{l \cdot \displaystyle\frac{\sqrt3}{2}}\ \Rightarrow\ h=\displaystyle\frac{l}{2 \cdot \sqrt{3}}

Calcul numeric:
h=\displaystyle\frac{2\ m}{2 \cdot \sqrt{3}}\ \Rightarrow\ h=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\ m\ \Rightarrow\ \boxed{\ h=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\ m\ }

subpunctul c)

Lungimea conturului de covor este identic cu perimetrul dreptunghiului ABCD. Vom avea:

P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA\ \Rightarrow\ P_{ABCD}=2 \cdot (AB+AD)

Se știe:
AB=MN=MO+ON=l \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+l \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6}
AD=l\ unde\ l=2\ m

Atunci avem:
P_{ABCD}=2 \cdot (l \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+l \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6}+l)

Calcul numeric:
P_{ABCD}=\displaystyle\frac{12+8 \cdot \sqrt{3}}{3}\ m

Se știe că:
\sqrt{3}\ \textless\ 1,74\ \Rightarrow P_{ABCD}\ \textless\ \displaystyle\frac{12+8 \cdot 1,74}{3}=\displaystyle\frac{25,92}{3}\ \textless\ \displaystyle\frac{27}{3}=9\ m\ \Rightarrow

\boxed{\ P_{ABCD}\ \textless\ 9\ m\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
Se cunoaște reprezentarea schematică a unei cutii de carton cu capac de forma unei prisme drepte ABCDEFGH cu baza ABCD pătrat. Se consideră punctul O mijlocul segmentului EG. Se consideră punctul M în interiorul segmentului OB asfel încât lungimea CM să fie minimă.

Concluzie:

a) Volumul prismei ABCDEFGH
V_{ABCDEFGH}=\ ?

b) Determinați aria totală a cartonului A_carton din care s-a confecționat prisma, dacă se știe că:
A_{carton}=110\% \cdot A_{ABCDEFGH}

c) Arătați că:
CM=\displaystyle\frac{20 \cdot \sqrt{6}}{3}\ cm

Demonstrație:
Figura geometrica la problema 2 din subiectul 3 data la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a in anul 2014.
Evaluarea nationala 2014 clasa a 8-a – problema 2 de la subiectul 3
subpunctul a)

Volumul prismei drepte ABCDEFGH este egal cu produsul dintre înălțimea prismei h și aria bazei l*l . Vom avea:
V_{ABCDEFGH}=(AB) \cdot (BC) \cdot (AE)=(l) \cdot (l) \cdot (h)=l^2 \cdot h

Unde am notat cu:
l = AB = BC = CD = DA = EF = FG = GH = HE = 20 cm
h = AE = BF = CG = DH = 10 cm

Efectuând calculele numerice, vom avea:
V_{ABCDEFGH}=(20\ cm)^2 \cdot (10\ cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ V_{ABCDEFGH}=4000\ cm^3\ }

subpunctul b)

Aria totală ale prismei drepte ABCDEFGH este egală cu suma tuturor ariilor fețelor laterale ale prismei. Vom putea scrie că:

A_{ABCDEFGH}=2 \cdot A_{ABCD}+2 \cdot A_{ABFE}+2 \cdot A_{BCGF}\ \Rightarrow

A_{ABCDEFGH}=2 \cdot (AB) \cdot (BC)+2 \cdot (AB) \cdot (BF)+2 \cdot (BC) \cdot (CG)\ \Rightarrow

A_{ABCDEFGH}=l \cdot l+l \cdot h+l \cdot h\ \Rightarrow

A_{ABCDEFGH}=2 \cdot l \cdot (l+2h)

Efectuând calculele numerice, vom obține:

A_{ABCDEFGH}=2 \cdot 20cm \cdot (20cm+2 \cdot 10cm)=1600\ cm^2

A_{carton}=110\% \cdot A_{ABCDEFGH}\ \Rightarrow\ A_{carton}=110\% \cdot (1600\ cm^2)\ \Rightarrow\ \boxed{\ A_{carton}=1760\ cm^2\ }

subpunctul c)

Dacă M este punctul ce aparține segmentului OB asfel încât CM este distanța minimă dintre C și (OB) rezultă că CM este perpendiculară pe OB. Punctul O este mijlocul segmentului EG, rezultă că O este chiar punctul de intersecție dintre diagonalele EG și HF. În triunghiul HGF dreptunghic în G, aplicăm teorema lui Pitagora și vom avea:

(HF)^2=(OF)^2+(FB)^2\ \Rightarrow\ (HF)^2=l^2+l^2\ \Rightarrow\ HF=l \sqrt{2}\ \Rightarrow\ OF=l \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}

În triunghiul OFB dreptunghic în F, aplicăm teorema lui Pitagora și vom determina lungimea laturii OB astfel:

(OB)^2=(HG)^2+(FG)^2\ \Rightarrow\ (OB)^2=\displaystyle\frac{l^2}{2}+h^2\ \Rightarrow\ OB=\sqrt{\displaystyle\frac{l^2}{2}+h^2}\ \Rightarrow

Efectuând calculele numerice, vom obține:

OB=\sqrt{\displaystyle\frac{(20cm)^2}{2}+(10cm)^2}\ \Rightarrow\ OB=\sqrt{\displaystyle\frac{400\ cm^2}{2}+100\ cm^2}\ \Rightarrow

OB=10 \sqrt{3}\ cm

În mod analog se demonstrează că:

OC=10 \sqrt{3}\ cm

Aria suprafeței triunghiului OBC o vom scrie în două moduri.

În prima variantă vom folosi formula lui Heron deoarece se cunoaște fiecare lungime a laturii triunghiului. În a doua variantă vom folosi formula clasică (baza)*(înălțimea)/2, unde (baza)=OB iar (înălțimea)=CM.

Aria_{OBC}=\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}

Aria_{OBC}=\displaystyle\frac{(OB) \cdot (CM)}{2}

Vom obține:

CM=\displaystyle\frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}{OB}

unde:
a=OB=10\sqrt{3}\ cm
b=OC=10\sqrt{3}\ cm
c=BC=20\ cm

p=\displaystyle\frac{(a+ b +c)}{2}=10 \cdot (\sqrt{3}+1)\ cm

p-a=10\ cm
p-b=10\ cm
p-c=10 \cdot (\sqrt{3}-1)\ cm

Efecuând calculele numerice, vom avea:

CM=\displaystyle\frac{2 \cdot \sqrt{10 \cdot (\sqrt{3}+1) \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (\sqrt{3}-1)cm^4}}{10 \cdot \sqrt{3}cm}

CM=\displaystyle \frac{2 \cdot 100 \cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2)}cm^2}{10 \cdot \sqrt{3}cm}=20 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\ cm\ \Rightarrow

\boxed{\ CM=20 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\ cm\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.3, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2014. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2014 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2014 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2014 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2014 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2014, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2014 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 4924 din 29 august 2013 emis de ministerul educației naționale, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2013-2014. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 25 iunie 2014, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 3 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2014 în limbile minorităților.

Articole asemănătoare

Fii primul care comentează

Lasă un răspuns