Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2010

Rezolvare și explicații

2010 0
Paralelipiped la evaluarea nationala 2010 clasa a 8-a.
Image Credit: © Marcel Maxim / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2010.

Exercițiile și problemele date în 2010 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de împărțire, apoi cea de adunare. Vom avea:
2 + 4:2 = 2 + 2 = 4

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea mediei aritmetice dintre două numere naturale, având ca rezultat tot un număr natural. Numerele date sunt 2 și 8. În acest caz media aritmetică m.a. este:

\mathnormal{m_a}=\displaystyle\frac{2+8}{2}=\displaystyle\frac{10}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ m_a=5\ }

Exercițiul nr.3

Se referă la determinarea reuniunii a două mulțimi A și B care au ca și elemente numere naturale.

\mathnormal{Daca\ multimea\ A}=\{ 1; 2; 3\} \mathnormal{\ si\ daca\ multimea\ B}=\{ 3; 4\}\ \Rightarrow\ \boxed{\ A \cap B=\{ 3\}\ }

Exercițiul nr.4

Are ca și cerință calcularea numerică a ariei unui triunghi echilateral dacă i se cunoaște lungimea unei laturi ca fiind de l = 4m. Pentru calcularea ariei este necesar să se cunoască formula ariei unui triunghi echilateral, cunoscândui-se lungimea unei laturi.

S=\l^2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\ \Rightarrow\ \mathnormal{dupa\ ce\ facem\ calculul\ numeric\ obtinem\ } \boxed{\ S=4\sqrt{3}\ m^2\ }

Exercițiul nr.5

Are ca și cerință calcularea a măsurii unghiului a două drepte în spațiu. În ipoteză se cunoaște că prisma este dreaptă și are ca baze triunghiuri echilaterale ABC, respectiv A’B’C’. Muchiile B’C’ și BC fiind paralele între ele, atunci măsura unghiului format dintre dreptele AB și B’C’ este identic cu măsura unghiului format dintre dreptele AB și BC, adică chiar măsura unghiului ABC din triunghiul echilateral ABC, adică 60 grade.

Exercițiul nr.6

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-un grafic dat. Dacă notăm cu x distanța parcursă de vehicul la momentul t, atunci vehiculul va staționa în perioada de timp în care x are o valoare constantă. Se observă în grafic că între orele t1 = 2 ore și t2 = 4 ore avem distanța vehiculului fată de reperul 0, la o valoare constantă de 50 km. Deci vehiculul staționează într-un interval de timp de (t2-t1) = 2 ore.

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Are ca și cerință desenarea unei piramide triunghiulare regulate cu baza ABC și cu vârful S.

Exercițiul nr.2

Are ca și cerință calcularea numărului de cărți de matematică cumpărate de un elev. Se cunoaște că elevul a cumpărat în total 10 cărți, de literatură și de matematică. Fiecare carte de literatură costă 9 lei și fiecare carte de matematică costă 7 lei. Se mai cunoaște faptul că elevul a plătit 76 lei în total pentru toate cele 10 cărți cumpărate.

O metodă de calcul este cea de rezolvare prin metoda falsei ipoteze, dar această metodă e relativ greoaie și durează destul de mult timp.

O altă metodă de rezolvare, este aceea de rezolvare a sistemul de 2 ecuații cu 2 necunoscute, care este mai ușoară și mai rapidă. Dacă notăm cu x = numărul de cărți de matematică și cu y = numărul de cărți de literatură, vom putea scrie:
x + y = 10
7x + 9y =76

Acest sistem de ecuații îl putem rezolva prin metoda reducerii. Dacă înmulțim prima ecuație cu (-9) și apoi adunăm ecuațiile, vom obține:
(-9x + 7x) + (-9y + 9y) = -90 + 76
-2x = -14
x = 7 (Au fost cumpărate un număr de 7 cărți de matematică)

Exercițiul nr.3

În acest exercițiu se cunoaște faptul că o persoană cheltuiește dintr-o sumă S de bani timp de 3 zile consecutive și îi rămân 100 lei după cele trei zile. Se știe că în prima zi cheltuiește 30% din S. În a doua zi cheltuiește 40% din S. În a treia zi cheltuiește 1/4 din S.

a) Prima cerință este cea în care se cere să se precizeze care este ziua în care persoana cheltuiește cei mai puțini bani. Practic acest lucru se traduce prin aflarea celei mai mici sume de bani dintre: (40%)S; (30%)S și (1/4)S.

1/4=25/100=25% rezultă că (1/4)S=(25%)S.
Comparând cele 3 sume, se observă că: (25%)S < (30%)S < (40%)S.
Dintre cele trei zile, în a 3-a zi persoana va cheltui cei mai puțini bani.

b) A doua cerință este de a determina suma S. Putem scrie următoarea ecuație:
S = (30%)S + (40%)S + (25%)S + 100 lei
S = (95%)S + 100 lei
(5%)S = 100 lei
(1/20)S = 100 lei
S = 2000 lei

Exercițiul nr.4

Are ca și cerință reprezentarea grafică a funcției de gradul 1 de forma:

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2010.
Evaluarea nationala 2010 clasa a 8-a – exercitiul 4 de la subiectul 2

f:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R},\ f\left(x\right)=-x+1

Se știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x-0-y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi=f(xi)=-xi+1, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă care reprezintă graficul funcției f(x) de mai sus.

fie x1 = 0 atunci y1 = f(x1) = -0+1 = 1 => primul punct A este de coordonate (0;1) cu notația A(0;1)
fie x2 = 1 atunci y2 = f(x2) = -1+1 = 0 => al doilea punct B este de coordonate (1;0) cu notația B(1;0)

Dreapta AB în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următorul număr p este natural:

p=(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2-\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2})-\sqrt{5} \cdot (\sqrt{2}-2 \cdot \sqrt{5})\ \Rightarrow

p=(\sqrt{5})^2+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}-(\sqrt{2})^2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}+2 \cdot (\sqrt{5})^2 \ \Rightarrow

p=5+2 \cdot \sqrt{10}+2-\sqrt{10}-2-\sqrt{10}+2 \cdot 5 \ \Rightarrow

p=5+2-2+10+2 \cdot \sqrt{10}- \sqrt{10}-\sqrt{10}\ \Rightarrow

\boxed{\ p=15\ \Rightarrow\ p \in \mathcal{N}\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
Se cunoaște schița unui bazin în formă de paralelipiped dreptunghic cu vârfurile A, B, C, D, A’, B’, C’ și D’. Baza ABCD are dimensiunile AB = 12m și BC = 4m. Înălțimea paralelipipedului este de AA’ = 3m.

Concluzie:
a) Calculați distanța AC’
b) Calculați aria laterală a bazinului.
c) Dacă în bazin se toarnă 96000 litri de apă, calculați înălțimea apei la care se ridică apa în bazin.

Demonstrație:
subpunctul a)

Triunghiul ABC este dreptunghic, cu măsura unghiului A de 90 grade. Din Teorema lui Pitagora, putem calcula lungimea ipotenuzei AC:

AC^2=AB^2+BC^2\ \Rightarrow\ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}

Calcul\ algebric\ AC=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}m

C'C \perp CB\ si\ C'C \perp CD\ \Rightarrow\ C'C \perp (ABC)\ \Rightarrow

C'C \perp CA\ \Rightarrow\ Triunghiul\ C'CA\ dreptunghic\ in\ C\ \Rightarrow

Din Teorema lui Pitagora în triunghiul ACC’, putem calcula lungimea ipotenuzei AC’:
AC'^2=AC^2+CC'^2\\Rightarrow\ se\ stie\ ca\ CC'= AA'\ \Rightarrow

Calcul\ algebric\ AC'=\sqrt{(160+3^2)m^2}=\sqrt{169 m^2}=13m\ \Rightarrow\ \boxed{\ AC'=13\ m\ }

subpunctul b)

(Aria laterala paralelipiped) = (Perimetrul bazei paralelipiped)*(Înălțimea paralelipipedului)
Aria.lat. = (Per.)*h ; Per. = 2(AB+BC) ; h = AA’ ;
rezultă că Aria.lat. = 2AA'(AB+BC)

Calcul\ algebric\ Aria_{lat}=2 \cdot (3m) \cdot (12m+4m)\ \Rightarrow\ \boxed{\ Aria_{lat}=96\ m^2\ }

subpunctul c)

Dacă notăm cu h1 înălțimea la care se ridică apa în bazin, putem scrie că volumul ocupat de apă este:
Vapă = h1*Aria.bază ;   Aria.bază=AB*BC rezultă că h1 = Vapă/(AB*BC)

Deoarece unitățile de măsură a lungimilor laturilor paralelipipedului sunt în metri, vom transforma volumul de apă în unitatea de măsură “metru cub”.

Se\ stie\ ca\ 1\ litru=(1dm)^3=(0,1m)^3=\displaystyle\frac{1m^3}{1000}\ \Rightarrow

V_{apa}=96000(l)=96000 \cdot \displaystyle\frac{1m^3}{1000}=96m^3\ \Rightarrow

Calcul\ algebric\ h_1=\displaystyle\frac{96m^3}{(12m) \cdot (4m)}\ \Rightarrow\ \boxed{\ h_1=2\ m\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
Se cunoaște schița unui patinoar format dintr-un dreptunghi MNPQ și două semicercuri ca în figură. Se știe că MN = 40m și NP = 30m.

Figura geometrica la subiectul 3 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2010.
Evaluarea nationala 2010 clasa a 8-a – problema 2 de la subiectul 3

Concluzie:
a) Calculați lungimea unui gard ce înconjoară patinoarul.
b) Verificați dacă aria patinoarului este mai mică decât 2000mp (se știe că 3,14< pi < 3,15).
c) Dacă A este mijlocul lui [PQ], B mijlocul lui [MQ] și C mijlocul lui [NP], calculați sinusul unghiului ABC.

Demonstrație:
subpunctul a)

Notăm cu P1 = perimetrul patinoarului și cu r=(NP)/2 raza semicercurilor.
P1 = Lsemicerc + MN + Lsemicerc + PQ
P1 = Lcerc + 2*MN

P_1=2\pi r+2(MN)=\pi NP+2(MN)\ \Rightarrow

La\ calculul\ algebric\ rotunjim\ \pi\ cu\ 3,14\ \Rightarrow

P_1=(3,14) \cdot (30 m)+2 \cdot (40 m)\ \Rightarrow\ \boxed{\ P_1=174,2\ m\ }

Gardul care înconjoară patinoarul are lungimea mai mare sau egală cu perimetrul patinoarului.

subpunctul b)

Notăm cu Aria = aria suprafeței patinoarului.
Aria = Aria(semicerc) + Aria(MNPQ) + Aria(semicerc)
Aria = Aria(cerc) + Aria(MNPQ)

Aria= \pi \cdot r^2+(MN) \cdot (NP)=\pi \cdot (\displaystyle\frac{NP}{2})^2+(MN) \cdot (NP)\ \Rightarrow

Aria=NP \cdot [\displaystyle\frac{\pi \cdot (NP)}{4}+(MN) ]\ \Rightarrow\ Calcul\ algebric\ \Rightarrow

Aria=(30m) \cdot [\displaystyle\frac{\pi \cdot (30m)}{4}+40m]=\pi \cdot (225m^2)+1200m^2\ \Rightarrow\ Consideram\ \pi\ \textless\ 3,15\ \Rightarrow

Aria\ \textless\ (3,15) \cdot (225m^2)+1200m^2=1908,75 m^2\ \textless\ 2000 m^2\ \Rightarrow

\boxed{\ Aria\ \textless\ 2000\ m^2\ }

subpunctul c)

MQ = NP; BQ = BM; CP = CN rezultă că dreptele BC și QP sunt paralele. Dreapta AB fiind o secantă la dreptele paralele BC și QP atunci (unghiul QAB) = (unghiul ABC), deoarece sunt alterne-interne. În acest caz (sinusul unghiului ABC) = (sinusul unghiului QAB). Dar în triunghiul dreptunghic AQB (cu unghi drept în Q), sinusul unghiului QAB este numeric egal cu raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Lungimea ipotenuzei AB se poate calcula prin aplicarea teormei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AQB.

AB^2=QB^2+QA^2\ \Rightarrow\ AB=\sqrt{QB^2+QA^2}

Daca\ QB=\displaystyle\frac{MQ}{2}=\displaystyle\frac{NP}{2}=15m\ si\ daca\ QA=\displaystyle\frac{QP}{2}=\displaystyle\frac{MN}{2}=20m\ \Rightarrow

AB=\sqrt{(15^2+20^2)m^2}=\sqrt{625}m\ \Rightarrow\ AB=25m

\sin\alpha=\displaystyle\frac{QB}{AB}\ \Rightarrow\ \sin\alpha= \displaystyle\frac{15m}{25m}\ \Rightarrow\boxed{\ \sin\alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.5, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2010. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2010 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2010 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2010 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2010 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2010, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2010 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 4846 din 31 august 2009 emis de ministerul educației, cercetării și inovării, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2009-2010. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 12 mai 2010, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 5 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de teste în limbile minorităților.

Articole asemănătoare

Fii primul care comentează

Lasă un răspuns