Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2016

Rezolvare și explicații

2016 0
Cubul la evaluarea nationala 2016 clasa a 8-a.
Image Credit: © Maxim Marcel / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2016.

Exercițiile și problemele date în 2016 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de înmulțire, apoi operația de scădere. Vom avea:

10 \cdot 5-50=50-50=0

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea unui număr a dacă se știe că a supra 16 este egal cu 7 supra 8:

\displaystyle\frac{a}{16}=\displaystyle\frac{7}{8}\ \Rightarrow\ a=\displaystyle\frac{16\cdot7}{8}\ \Rightarrow\ \boxed{\ a=14\ }

Exercițiul nr.3

Cel mai mare număr natural n pentru care n aparține intervalului (2; 6] este 6.

n\in \mathcal{N}\ si\ n\in (2\ ;\ 6]\ \Rightarrow\ \boxed{\ n_{max}=6\ }

Exercițiul nr.4

Un pătrat ABCD care are lungimea unei laturi l = 3 cm. Perimetrul pătratului este de 4*l = 4*(3 cm) = 12 cm

\mathnormal{P_{ABCD}}=4 \cdot l\ \Rightarrow\ \mathnormal{P_{ABCD}}=4 \cdot (3\ cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathnormal{P_{ABCD}}=12\ cm\ }

Exercițiul nr.5

Se consideră un cub ABCDEFGH. Măsura unghiului format de muchiile AB și AD este de 90 grade deoarece fața ABCD este un pătrat.

Vezi imaginea reprezentativa a a cubului ABCDEFGH.

Diagrama cu notele obtinute la subiectul 1 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2016.
Evaluarea nationala 2016 clasa a 8-a – exercitiul 6 de la subiectul 1

Exercițiul nr.6

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-o diagramă coloană. Pe abscisă este prezentată nota obținută, iar pe ordonată este prezentat numărul de elevi care au primit aceeași notă. În exemplul dat, numărul de elevi din clasă care au obținut nota 5 la test este egal cu 3.

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Are ca și cerință desenarea unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD.

Exercițiul nr.2

Se știe că x este radical din 3 iar y este 1 supra radical din 3. Arătați că (x supra y) plus (y supra x) este egal cu 10 supra 3.

x=\sqrt{3}

y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}

Vom avea:

\displaystyle\frac{x}{y}+\displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=3+\frac{1}{3}=\frac{3 \cdot 3+1}{3}\ \Rightarrow

\boxed{\ \displaystyle\frac{x}{y}+\displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{10}{3}\ }

Exercițiul nr.3

În acest exercițiu se cere să se calculeze ce sumă de bani a economisit Mihai. Se știe că după ce a cheltuit două cincimi din această sumă, i-au mai rămas 72 lei.

Vom nota cu X = suma de bani (exprimată în lei) pe care a economisit-o Mihai. Exprimăm enunțul literar al problemei în ecuații matematice:

\displaystyle\frac{2}{5} \cdot X+72=X\ \Rightarrow\ X=\displaystyle\frac{72}{1-\displaystyle\frac{2}{5}}\ \Rightarrow\ X=\displaystyle\frac{5 \cdot 72}{3}\ \Rightarrow

\boxed{\ X=120\ }

Exercițiul nr.4

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2016.
Evaluarea nationala 2016 clasa a 8-a – problema 4 de la subiectul 2

Se consideră funcția definită în mulțimea numerelor reale cu valori în mulțimea numerelor reale:

f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f\left(x\right)=x+2

a) Se cere să se reprezinte graficul funcției f de mai sus într-un sistem de coordonate cartezian x0y.

b) Se cere să se determine aria suprafeței triunghiului determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate cartezian x0y.

subpunctul a)

Exponentul lui x este 1, deci funcția de mai sus este de gradul 1. Se cunoaște faptul că graficul unei funcții de gradul 1 este reprezentat de o dreaptă în sistemul de coordonate x0y. Se mai știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x0y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi = f(xi) = xi + 2, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă d care reprezintă graficul funcției f(x) de mai sus.

fie x1 = 0 atunci y1 = f(x1) = 0 + 2 = 2 => primul punct A este de coordonate (0; 2) cu notația A(0; 2)
fie x2 = -2 atunci y2 = f(x2) = -2 +2 = 0 => al doilea punct B este de coordonate (-2; 0) cu notația B(-2; 0)

Dreapta d determinată de punctele A și B în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

subpunctul b)

Triunghiul pentru care se va calcula aria suprafeței este dat de punctele O, A, și B. Deoarece axele sistemului de coordonate cartezian x0y sunt perpendiculare între ele, atunci triunghiul AOB este dreptunghic în O.

Deoarece în problemă nu se specifică unitatea de măsură a lungimii pe abscisă și ordonată față de reperul 0, pentru a efectua un calcul “corect” al ariei, vom alege noi unitatea de măsură. Alegem 1 metru = 1 m = distanța de la 0 la 1 pe axele 0x și 0y. În acest caz vom avea:

Distanța de la B la 0 este B0 = 2 m
Distanța de la A la 0 este A0 = 2 m

Aria triunghiului A0B este:

A_{AOB}=\displaystyle\frac{AO \cdot BO}{2}\ \Rightarrow

Efectuând calculul numeric, vom avea:

A_{AOB}=\displaystyle\frac{(2m) \cdot (2m)}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ A_{AOB}=2\ m^2\ }

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următoarea expresie E(x) = 2, oricare ar fi x un număr real cu excepția numerelor -2 și 2.

\mathit{E(x)}=\bigg( 1+\displaystyle\frac{1}{x-2}-\displaystyle\frac{2}{x+2} \bigg) : \displaystyle\frac{1}{x^2-4}-x \cdot (x-1)\ ,\ unde\ x\neq 2\ si\ x\neq -2\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\bigg[ \displaystyle\frac{(x-2) \cdot (x+2)+(x+2)-2 \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x+2)} \bigg] \cdot (x^2-4)-x^2+x\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x^2-4+x+2-2x+4}{x^2-4} \cdot (x^2-4)-x^2+x\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=x^2-x+2-x^2+x\ \Rightarrow

\boxed{\ \mathit{E(x)}=2\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
Se cunoaște schița unui teren ca în figura de mai jos. Se știe că triunghiul ABC este echilateral care are lungimea laturii AB = 18 m. Punctul D aparține pe dreapta BC astfel încât triunghiul ACD este obtuzunghic. Lungimea segmentului CD este de 9 m. Punctul E aparține pe latura AD astfel unghiul ACE este congruent cu unghiul DCE.

Concluzie:
a) Aratați că aria triunghiului ABC este 81\sqrt{3} \ m^2
b) Demonstrați că dreptele EC și AB sunt paralele.
c) Arătați că perimetrul triunghiului EAC este egal cu 6 \cdot (4+\sqrt{7})\ m

Schita unui desen cu un triunghi echilateral dat la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2016.
Evaluarea nationala 2016 clasa a 8-a – problema 1 de la subiectul 3
Demonstrație:
subpunctul a)

Se cunoaște faptul că aria suprafeței unui triunghi echilateral ce are lungimea unei laturi l, este:

\mathcal{A}=l^2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\ \Rightarrow

Efectuând calculul numeric vom avea:

\mathcal{A}=(18m)^2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}\ m^2

subpunctul b)

Măsura unghiului BAC este de 60 grade, deoarece triunghiul ABC este echilateral. Unghiul BCD fiind alungit rezultă că măsura lui este 180 grade, deci măsura unghiului BAC + măsura unghiului ACD este 180 grade. De aici rezultă că măsura unghiului ACD este 120 grade. Deoarece EC este bisectoarea unghiului ACD, va rezulta că unghiul ACE este congruent cu unghiul ECD și au fiecare măsura de 60 grade.

m(\sphericalangle BAC)=60^\circ\ \Rightarrow\ m(\sphericalangle ACD)=180^\circ-60^\circ=120^\circ\ \Rightarrow

m(\sphericalangle ACE)=m(\sphericalangle ECD)=60^\circ\ \Rightarrow\ \sphericalangle ACE \equiv \sphericalangle ECD

În acest caz unghiurile BAC și ECA sunt congruente, deoarece au aceeași măsură de 60 grade. Dacă considerăm dreaptele d1 = AB și d2 = CE ce sunt tăiate de secanta AC observăm că unghiurile BAC și ECA sunt alterne interne congruente. Va rezulta că dreapta d1 este paralelă cu dreapta d2, echivalent cu a spune că dreptele AB și CE sunt paralele.

\sphericalangle BAC \equiv \sphericalangle ECA\ \Rightarrow\ AB \parallel CE

subpunctul c)

Deoarece drepta CE este paralelă cu dreapta AB, triunghiurile DEC și DAB sunt asemenea.

\ AB \parallel CE\ \Rightarrow\ \ \vartriangle DEC \sim\ \vartriangle DAB\ \Rightarrow\ \displaystyle\frac{EC}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{DB}\ \Rightarrow

\displaystyle\frac{EC}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{BC+DC}\ \Rightarrow\ EC=AB \cdot \displaystyle\frac{DC}{BC+DC}

Efectuând calculul numeric, vom obține:

EC=18m \cdot \displaystyle\frac{9m}{18m+9m}\ \Rightarrow\ \boxed{\ EC= 6\ m\ }

În mod analogic vom calcula lungimea segmentului DE:

\vartriangle DEC \sim\ \vartriangle DAB\ \Rightarrow\ \displaystyle \frac{DE}{DA}=\displaystyle\frac{EC}{AB}\ \Rightarrow\ DE=DA \cdot \displaystyle\frac{EC}{AB}

Lungimea segmentului DA o aflăm, aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AMD. Vom avea:

AD^2=AM^2+MD^2\ \Rightarrow\ AD=\sqrt{AM^2+MD^2}

În triunghiul dreptunghic AMC avem:

sin( \sphericalangle ACM)=\displaystyle\frac{AM}{AC}\ \ iar\ m( \sphericalangle ACM)=60^\circ

sin( 60^\circ)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow\ \displaystyle \frac{AM}{AC}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow\ AM=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AC

Efectuând calculule numerice, vom obține:

AM=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 18m=9\sqrt{3}m

MD=MC+CD=9m+9m=18m

AD=\sqrt{(9 \sqrt{3}m)^2+(18m)^2}=9 \sqrt{7}m\ \Rightarrow

DE=9 \sqrt{7}m \cdot \displaystyle\frac{6m}{18m}=3 \sqrt{7}m

AE=AD-DE\ \Rightarrow\ AE=9 \sqrt{7}m-3\sqrt{7}m\ \Rightarrow

\boxed{\ AE=6 \sqrt{7}m\ }

Perimetrul triunghiului EAC este:

P_{\vartriangle EAC}=EA+AC+CE

Efectuând calcule numerice vom obține:

P_{\vartriangle EAC}=6 \sqrt{7}m+18m+6m\ \Rightarrow \boxed{\ P_{\vartriangle EAC}=6 \cdot (4+ \sqrt{7})\ m\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
Se cunoaște reprezentarea schematică a unei prisme drepte ABCDEF cu baza ABC un triunghi echilateral. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AD respectiv BE. Se cunosc lungimile l=AB=10\ cm\ si\ h=AD=10\sqrt{3}\ cm

Concluzie:
a) Arătați că perimetrul triunghiului ABC este de 30 cm.
b) Arătați că aria laterală a prismei este mai mică decât 525 centimetrii pătrați.
c) Demonstrați că planele (CMN) și (FMN) sunt perpendiculare.

Schita unei prisme triunghiulare drepte data la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2016.
Evaluarea nationala 2016 clasa a 8-a – problema 2 de la subiectul 3
Demonstrație:
subpunctul a)

Triunghiul ABC este echilateral cu l = AB = 10 cm. Perimetrul triunghiului ABC este P = 3*l . Vom avea:

P_{\vartriangle ABC}=3 \cdot l

Efectuând calculul numeric, vom avea:

P_{\vartriangle ABC}=3 \cdot (10\ cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ P_{\vartriangle ABC}=30\ cm\ }

subpunctul b)

Aria laterală ale prismei drepte ABCDEF este egală cu suma tuturor ariilor fețelor laterale ale prismei. Vom putea scrie că:

A_{laterala}=A_{ACFD}+A_{CBEF}+A_{BADE}\ \Rightarrow

A_{laterala}=l \cdot h+l \cdot h+l \cdot h=3 \cdot l \cdot h

Efectuând calcule numerice, vom obține:

A_{laterala}=3 \cdot (10cm) \cdot (10\sqrt{3}cm)=300\sqrt{3}cm^2

Se\ cunoaste\ faptul\ ca\ \sqrt{3}\ \textless\ 1,74\ \Rightarrow

A_{laterala}\ \textless\ 300 \cdot 1,74\ cm^2=522\ cm^2\ \textless\ 525 \ cm^2

\boxed{\ A_{laterala}\ \textless\ 525\ cm^2\ }

subpunctul c)

Dacă ABCDEF este prismă dreaptă cu baza ABC un triunghi echilateral, atunci vom avea:

AB=BC=CA=DE=EF=FD=10\ cm
AD=BE=CF=10 \sqrt{3}\ cm
AD \perp (ABC)\ si\ AD \perp (DEF)
BE \perp (ABC)\ si\ BE \perp (DEF)

M\ este\ mijlocul\ lui\ AD\ \Rightarrow\ MD=MA=\displaystyle\frac{AD}{2}=5 \sqrt{3}\ cm

N\ este\ mijlocul\ lui\ BE\ \Rightarrow\ NE=NB=\displaystyle \frac{BE}{2}=5 \sqrt{3}\ cm

În triunghiul DMF dreptunghic în D, aplicăm teorema lui Pitagora și vom avea:

(MF)^2=(MD)^2+(DF)^2\ \Rightarrow\ (MF)=\sqrt {(MD)^2+(DF)^2}

Efectuând calculele numerice, vom obține:
(MF)=\sqrt{(5\sqrt{3}cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{175}cm

În mod analog se calculează:
(MC)=\sqrt{(5\sqrt{3}cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{175}cm
(NF)=\sqrt {(5\sqrt{3}cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{175}cm
(NC)=\sqrt{(5\sqrt{3}cm)^2 +(10cm)^2}=\sqrt{175}cm

Rezultă că triunghiul NFM este isoscel cu NF = MF și triunghiul NCM este isoscel cu NC = MC.

Fie punctul O mijlocul segmentului MN. Atunci FO este mediană în triunghiul isoscel FMN, deci este și înălțime în triunghiul FMN. În mod analogic demonstrează că CO este înălțime în triunghiul isoscel CMN. Unghiul diedru dintre planele (CMN) și (FMN) este chiar unghiul COF.

FO \perp MN\ si\ CO \perp MN\ \Rightarrow\ \sphericalangle{\big( (CMN),(FMN) \big) }=\sphericalangle{COF}

Vom demonstra că măsura unghiului COF este de 90 grade.

ABNM este dreptunghi. Atunci avem NM = AB = 10cm. În acest caz avem ON = OM = 5cm.

În triunghiul dreptunghic NOF aplicăm teorema lui Pitagora și vom obține:
(NF)^2=(NO)^2+(OF)^2\ \Rightarrow\ (OF)^2=(NF)^2-(NO)^2

Efectuând calculele numerice, vom obține:
(OF)^2=175 cm^2-25 cm^2\ \Rightarrow\ \boxed{\ (OF)^2=150cm^2\ }

În mod analog se demonstrează că:
(OC)^2=175 cm^2-25 cm^2\ \Rightarrow\ \boxed{\ (OC)^2=150cm^2\ }

Se\ stie\ ca\ (FC)=10 \sqrt{3}cm\ \Rightarrow\ \boxed{\ (FC)^2=300cm^2\ }

Se observă că:
(FC)^2=(OF)^2+(OC)^2=300cm^2\ \Rightarrow

În baza reciprocii teoremei lui Pitagora, rezultă că triunghiul COF este un triunghi dreptunghic în O, și astfel avem:

m(\sphericalangle COF)=90^\circ\ \Rightarrow\ \boxed{\ (CMN) \perp (FMN)\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.7, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2016. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2016 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2016 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2016 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2016 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2016, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2016 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 5081 din 31 august 2015 emis de ministerul educației și cercetării științifice, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2015-2016. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 29 iunie 2016, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 7 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2016 în limbile minorităților.

Related Articles

Be the first to comment

Leave a Reply