Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2011

Rezolvare și explicații

2011 0
Televizorul la evaluarea nationala 2011 clasa a 8-a.
Image Credit: © Maxim Marcel / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2011.

Exercițiile și problemele date în 2011 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de împărțire, apoi cea de adunare. Vom avea:
6 + 16:4 = 6 + 4 = 10

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea probabilității extragerii unei bile albastre dintr-o urnă în care sunt 3 bile albastre și 7 bile albe. În acest caz probabilitatea p este:

\mathnormal{p}=\displaystyle\frac{Numarul\ cazurilor\ favorabile}{Numarul\ cazurilor\ posibile}\ \Rightarrow\ \mathnormal{p}=\displaystyle\frac{3}{3+7}=\displaystyle\frac{3}{10}\ \Rightarrow\ \boxed{\ p=30\%\ }

Exercițiul nr.3

Are ca cerință determinarea prețului unei cantități de 4 kg de mere. Se cunoaște că prețul a 3 kg de mere este de 7,5 lei. Efectuarea calculelor se bazează pe existența mărimilor direct proporționale. Vom folosim regula de 3 simple.

3 kg mere ___________ 7,5 lei
4 kg mere ___________ x lei

\mathnormal{x}=\displaystyle\frac{4 \cdot 7,5}{3}=10\ \Rightarrow\ \boxed{\ x=10\ }

Exercițiul nr.4

Are ca și cerință calcularea numerică a lățimii unui dreptunghi dacă se știe că lungimea dreptunghiului este de 8 cm. Se mai știe că lățimea este egală cu 3/4 din lungime.
\mathnormal{l}=\displaystyle\frac{3}{4} \cdot (8\ cm)=6\ cm\ \Rightarrow\ \boxed{\ l=6\ cm\ }

Exercițiul nr.5

Are ca și cerință calcularea a măsurii unghiului a două drepte în spațiu. În ipoteză se cunoaște că prisma triunghiulară și are fețele laterale pătrate. În acest caz bazele sunt triunghiuri echilaterale ABC, respectiv A’B’C’. Muchiile CC’ și AA’ fiind paralele între ele, atunci măsura unghiului format dintre dreptele CC’ și AB’ este identic cu măsura unghiului format dintre dreptele AA’ și AB’, adică chiar măsura unghiului A’AB’ din triunghiul dreptunghic isoscel A’AB’ (cu unghi drept în A’), adică 45 grade.

Exercițiul nr.6

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-un tabel numeric dat. Numărul x al elevilor care au obținut o notă mai mică decât 7 este:
x = 8 + 12 + 25 = 45

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Are ca și cerință desenarea unei piramide triunghiulare regulate cu baza ABC și cu vârful V.

Exercițiul nr.2

Are ca și cerință determinarea perechilor de numere naturale (a; b) pentru care are loc egalitatea (a-1)/2 = 3/(b+1). În acest caz, problema se poate reformula în a găsi numerele naturale a și b, pentru care (a-1)(b+1) = 6. În acest caz (a-1) și (b+1) pot doar să aparțină mulțimii divizorilor lui 6, adică pot fi doar unul dintre elementele mulțimii {1; 2; 3; 6}.

dacă (a-1) = 1 => (b+1)=6/1 => (a = 2 și b = 5)
dacă (a-1) = 2 => (b+1)=6/2 => (a = 3 și b = 2)
dacă (a-1) = 3 => (b+1)=6/3 => (a = 4 și b = 1)
dacă (a-1) = 6 => (b+1)=6/6 => (a = 7 și b = 0)

Perechile de numere naturale (a; b) care respectă condiția din enunțul problemei, pot fi următoarele:
\mathnormal{(a; b)} \in {\{(2; 5); \ (3; 2); \ (4; 1); \ (7; 0)\}}

Exercițiul nr.3

În acest exercițiu se cere să se calculeze prețul inițial al unui televizor. Se cunoaște că prețul televizorului crește cu 10% iar după un timp prețul final al televizorului se ieftinește cu 10%. După aceste două modificări ale prețului, televizorul costă 1980 lei. Vom nota cu x prețul inițial al televizorului.

x + x(10%) = y
y – y(10%) = 1980 lei

\mathnormal{y}=\displaystyle \frac{1980 \ lei}{90 \%} \ \Rightarrow \mathnormal{x}=\displaystyle \frac{1980 \ lei}{90 \% \cdot 110 \%} \ \Rightarrow \boxed{ \ x=2000 \ lei \ }

Exercițiul nr.4

a) Are ca și cerință reprezentarea grafică a funcției de gradul 1 de forma:

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2011.
Evaluarea nationala 2011 clasa a 8-a – exercitiul 4 de la subiectul 2

f:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R} ,\ f\left(x\right)=-x+2

Se știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x-0-y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi=f(xi)=-xi+2, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă care reprezintă graficul funcției f(x) de mai sus.

fie x1 = 0 atunci y1 = f(x1) = -0+2 = 2 => primul punct A este de coordonate (0;2) cu notația A(0;2)
fie x2 = 2 atunci y2 = f(x2) = -2+2 = 0 => al doilea punct B este de coordonate (2;0) cu notația B(2;0)

Dreapta AB în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

b) La al doilea subpunct al exercițiului se cere să se determine coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata și aparține funcției f. Vom nota punctul respectiv cu M și vom considera că are coordonatele (x3, y3). Se știe că: f(x3) = y3 = x3 => (-x3 + 2) = x3 => x3 = 1 => y3 = 1 => M(1;1)

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următorul număr a este natural:

a=(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot (5-\sqrt{6})+(\sqrt{2}-1)^2-3\sqrt{3}\ \Rightarrow

a=5\sqrt{3}-\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}+5\sqrt{2}-\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}+(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}+1-3\sqrt{3}\ \Rightarrow

a=5\sqrt{3}-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2-2\sqrt{2}+1-3\sqrt{3}\ \Rightarrow

a=5\sqrt{3}-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2-2\sqrt{2}+1-3\sqrt{3}\ \Rightarrow

a=(5-2-3) \cdot \sqrt{3}+(-3+5-2)\cdot \sqrt{2}+2+1\ \Rightarrow

\boxed{\ a=3\ \Rightarrow\ a \in \mathcal{N}\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
Se cunoaște schița unei prisme de formă patrulateră dreaptă cu bazele pătrate, ce are vârfurile A, B, C, D, A’, B’, C’ și D’. Segmentul de dreaptă AP reprezintă o umbrelă care se sprijină în punctele A și C’. Se cunoaște dimensiunea AB = 30 cm și AP = 90 cm. Se mai cunoaște faptul că AC = CC’.

Concluzie:
a) Calculați înălțimea prismei AA’.
b) Calculați măsura unghiului dintre dreapta AP și planul (ABC).
c) Calculați distanța de la punctul P la planul (ABC).

Figura geometrica la subiectul 3 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2011.
Evaluarea nationala 2011 clasa a 8-a – problema 1 de la subiectul 3
Demonstrație:
subpunctul a)

Triunghiul ABC este dreptunghic, cu măsura unghiului B de 90 grade. Din Teorema lui Pitagora, putem calcula lungimea ipotenuzei AC:

(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2\ \Rightarrow\ AC=\sqrt{(AB)^2+(BC)^2}

Calcul\ algebric\ (AC)=\sqrt{30^2+30^2}=30\sqrt{2}\ cm\ \Rightarrow

Se\ stie\ ca\ (AC)=(CC')\ \Rightarrow\ (CC')=30\sqrt{2}\ cm\ \Rightarrow

Deoarece prisma este dreaptă, atunci (CC’) = (AA’)

Inaltimea\ prismei\ este:\ \boxed{\ (AA')= 30\sqrt{2}\ cm\ }

subpunctul b)

AC reprezintă proiecția lui AC’ pe planul (ABC). Măsura unghiului dintre dreapta AP și planul (ABC) este identic cu măsura unghiului dintre dreapta AC’ și planul (ABC), adică chiar măsura unghiului (C’AC). C’C perpendiculară pe planul (ABC) => C’C perpendiculară pe AC => deoarece AC = CC’ => triunghiul ACC’ este un triunghi dreptunghic isoscel => măsura unghiului (C’AC) = 45 grade.

subpunctul c)

Fie M proiecția punctului P pe planul (ABC). Punctele A, C’, P sunt coliniare => proiecțiile lor pe planul (ABC) sunt coliniare => punctele A, C, M sunt coliniare.

Din punctul b) de mai sus => măsura unghiului PAM este de 45 grade. Se știe că:

\sin 45^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}

\sin \widehat{PAM}=\displaystyle\frac{PM}{AP}\ \Rightarrow\ PM=AP \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\ \Rightarrow

Distanta\ de\ la\ punctul\ P\ la\ planul\ (ABC)\ este\ \boxed{\ PM=45\sqrt{2}\ cm\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
Se cunoaște schița unei grădini ce are forma unui dreptunghi ABCD în care trei zone cu două semicercuri și un cerc ca în figură. Cercul și semicercurile au aceeași rază r = AB/2, unde AB = 16 m.

Concluzie:
a) Calculați lungimea O1M + MD
b) Aria(semicerc1) + Aria(cerc) + Aria(semicerc2).
c) Verificați dacă aria hașurată < 111 metri pătrați.

Demonstrație:
subpunctul a)

MO_1=MO_2=NO_2=NO_3=r=\displaystyle\frac{AB}{2}=8\ m

Lungimea segmentului MD o calculăm utilizând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MDO3

(MD)^2=(O_{3}M)^2+(O_{3}D)^2\ \Rightarrow\ (MD)=\sqrt{(O_{3}M)^2+(O_{3}D)^2}

(MD)=\sqrt{(3r)^2+r^2}=r\sqrt{10}

Distanta\ este\ (O_{1}M)+(MD)=r(1+\sqrt{10})\ \Rightarrow\ \boxed{\ (O_{1}M)+(MD)=8(1+\sqrt{10})\ m\ }

subpunctul b)

Notăm cu S = aria căutată.
S = Aria(semicerc1) + Aria(cerc) + Aria(semicerc2)
S = 2xAria(cerc)

S=2 \pi r^2\ \Rightarrow

Calcul\ algebric\ \boxed{\ S=128 \pi\ m^2\ }

\ Daca\ aproximam\ \pi \approx 3,14\ \Rightarrow\ S=401,92\ m^2

subpunctul c)

Notăm cu A = aria hașurată căutată.
A + S = Aria(ABCD) => A = Aria(ABCD) – S
Din figura geometrică se observă că AB = 2r și BC = 4r => Aria(ABCD) = (AB)(BC)

\mathcal{A}=8r^2-2\pi r^2\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathcal{A}=2r^2 \cdot (4-\pi)\ }

Se știe că:
\pi\ \textgreater\ 3,14 \quad \bigg|\ \mathtt{(\ inmultim\ cu\ -1\ )}\ \Rightarrow

-\pi \ \textless\ -3,14 \quad \bigg|\ \mathtt{(\ adunam\ cu\ 4\ )}\ \Rightarrow

(4-\pi)\ \textless\ (4-3,14)\quad \bigg|\ \mathtt{(\ inmultim\ cu\ 2r^2\ )}\ \Rightarrow

2r^2 \cdot (4-\pi)\ \textless\ 2r^2 \cdot (4-3,14)\ \Rightarrow\ \mathtt{Aria\ hasurata\ este:}

\mathcal{A}\ \textless\ 2r^2 \cdot (4-3,14)=110,08\ m^2\ \textless\ 111\ m^2\ \Rightarrow\ \boxed {\ \mathcal{A}\ \textless\ 111\ m^2\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.8, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2011. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2011 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2011 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2011 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2011 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2011, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2011 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 4801 din 31 august 2010 emis de ministerul educației, cercetării, tineretului și sportului, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2010-2011. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 22 iunie 2011, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 8 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de teste în limbile minorităților.

Articole asemănătoare

Fii primul care comentează

Lasă un răspuns