Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2017

Rezolvare și explicații

2017 0
Expresia E(x) la evaluarea nationala 2017 clasa a 8-a.
Image Credit: © Maxim Marcel / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2017.

Exercițiile și problemele date în 2017 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de împărțire, apoi operația de scădere. Vom avea:

20-20 :2=20-10=10

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea costului a 3 caiete, dacă se cunoaște că 6 caiete costă 30 lei.

Un\ caiet\ va\ costa\ \displaystyle\frac{30\ lei}{6}=5\ lei

Trei\ caiete\ vor\ costa\ x=3\cdot(5\ lei)\ \Rightarrow\ \boxed{\ x=15\ lei\ }

Exercițiul nr.3

Fie mulțimea A formată din elementele 1, 2, 3, 4 iar mulțimea B formată din elementele 4, 6, 8. Să se calculeze mulțimea A intersectată cu mulțimea B.

Fie\ \mathbb{A}=\{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ \}\ si\ fie\ \mathbb{B}=\{\ 4,\ 6,\ 8\ \}\ \Rightarrow

\mathbb{A} \cap \mathbb{B}=\{ x\ |\ x\in \mathbb{A}\ si\ x\in \mathbb{B} \}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathbb{A} \cap \mathbb{B}=\{\ 4\ \}\ }

Exercițiul nr.4

Un pătrat ABCD care are lungimea unei laturi l = 6 cm. Aria suprafeței pătratului este de l*l = (6 cm)*(6 cm) = 36 cm pătrați.

\mathnormal{A_{ABCD}}=l \cdot l\ \Rightarrow\ \mathnormal{A_{ABCD}}=(6\ cm)\cdot(6\ cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathnormal{A_{ABCD}}=36\ cm^2\ }

Exercițiul nr.5

Se consideră un tetraedru regulat ABCD. Acesta are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 12 cm. Se cere să se calculeze lungimea unei muchii din acest tetraedru.

Dacă notăm cu l = lungimea unei muchii, vom putea scrie că:

6 \cdot l=12\ cm\ \Rightarrow\ l=\displaystyle\frac{12\ cm}{6}\ \Rightarrow\ \boxed{\ l=2\ cm\ }

Exercițiul nr.6

Tabel cu denumirea claselor si numarul de elevi la subiectul 1 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2017.
Evaluarea nationala 2017 clasa a 8-a – exercitiul 6 de la subiectul 1

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-un tabel dat. Numărul total al elevilor din clasele a VIII-a este egal cu numărul elevilor din clasa a VIII-a A la care se adaugă numărul elevilor din clasa a VIII-a B. În total sunt 30 + 28 = 58 elevi.

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Schita unui cub dat la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2017.
Evaluarea nationala 2017 clasa a 8-a – exercitiul 1 de la subiectul 2

Are ca și cerință desenarea unui cub ABCDEFGH.

Exercițiul nr.2

Se se arate că:
S=(1+0,5) \cdot (1-0,5)+\bigg(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg)^2=\displaystyle\frac{5}{4}

Se\ stie\ ca\ (a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2\ \Rightarrow

S=1^2-0,5)^2+\displaystyle \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2}=1-0,25+\displaystyle\frac{1}{2}=1,25=\displaystyle\frac{125}{100}=\displaystyle\frac{5\cdot25}{4\cdot25}

Vom avea:

\boxed{\ S=\frac{5}{4}\ }

Exercițiul nr.3

Să se determine numerele x și y. Se cunoaște că media lor aritmetică este 150 iar raportul celor două numere este 1/2.

Vom nota cu x = primul număr iar cu y = al doilea număr. Exprimăm enunțul literar al problemei în ecuații matematice.

\displaystyle\frac{x+y}{2}=150

\displaystyle\frac{x}{y}=\displaystyle\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ 2x=y

Înlocuind în prima ecuație pe y = 2x vom obține:
\displaystyle\frac{x+2x}{2}=150\ \Rightarrow\ 3x=300\ \Rightarrow\ \boxed{\ x=100\ }\ \Rightarrow\ \boxed{\ y=200\ }

Exercițiul nr.4

Se consideră funcția definită în mulțimea numerelor reale cu valori în mulțimea numerelor reale:

f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f\left(x\right)=2x+3

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2017.
Evaluarea nationala 2017 clasa a 8-a – problema 4 de la subiectul 2

a) Se cere să se reprezinte graficul funcției f de mai sus într-un sistem de coordonate cartezian x0y.

b) Se cere să se determine abscisa punctului care aparține graficului funcției f știind că acel punct are abscisa egală cu ordonata.

subpunctul a)

Exponentul lui x este 1, deci funcția f de mai sus este de gradul 1. Se cunoaște faptul că graficul unei funcții de gradul 1 este reprezentat de o dreaptă în sistemul de coordonate x0y. Se mai știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x0y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi = f(xi) = 2xi + 3, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă d care reprezintă graficul funcției f de mai sus.

fie x1 = 0 atunci y1 = f(x1) = 0 + 3 = 3 => primul punct A este de coordonate (0; 3) cu notația A(0; 3)
fie x2 = -1 atunci y2 = f(x2) = -2 +3 = 1 => al doilea punct B este de coordonate (-2; 1) cu notația B(-2; 1)

Dreapta d determinată de punctele A și B în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

subpunctul b)

Considerăm punctul C(x3; y3) aparținând graficului funcției f definită mai sus pentru care abscisa este egală cu ordonata. Putem scrie că x3 = y3 și vom avea:

\mathtt { x_{3} = y_{3} = f(x_{3}) = 2 \cdot x_{3} + 3 } \ \Rightarrow \ \mathtt { x_{3} = 2 \cdot x_{3} + 3 } \ \Rightarrow \ \mathtt { x_{3} = -3 } \ \Rightarrow \ \mathtt { y_{3} = -3 }

\ \Rightarrow \boxed{ \ C(-3 ; -3) \ }

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următoarea expresie E(x) = 1, oricare ar fi x un număr real cu excepția numerelor -5; 1 și 5.

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x+2)^2-9}{x^2-25}:\displaystyle\frac{x-1}{x-5}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x+2)^2-3^2}{x^2-5^2} \cdot \displaystyle\frac{x-5}{x-1}\ ,\ unde\ x\neq -5\ si\ x\neq 1\ si\ x\neq 5\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{\big[ (x+2)-3\big] \cdot \big[(x+2)+3\big] }{(x-5) \cdot (x+5)} \cdot \displaystyle\frac{x-5}{x-1}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x-1) \cdot (x+5) \cdot (x-5)}{(x-5) \cdot (x+5) \cdot (x-1)}\ \Rightarrow

\boxed{\ \mathit{E(x)}=1\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD la care se cunosc lungimile laturilor AB = 8\sqrt{3}cm \ si \ AD = 8cm . Pe diagonala BD se consideră punctele E si F astfel încât unghiurile DAE, EAF și FAB au aceeași măsură.

Concluzie:
a) Arătați că perimetrul dreptunghiului ABCD are valoarea de 16 \cdot (\sqrt{3} +1) \ cm
b) Demonstrați că punctele A, F și C sunt coliniare.
c) Fie punctul M aparține laturii AD astfel încât FM să fie paralelă cu AB și fie punctul N este dat de intersecția segmentelor FM și AE. Demonstrați că dreapta DN este perpendiculară pe dreapta AC.

Demonstrație:
Schita unui dreptunghi cu un triunghi echilateral dat la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2017.
Evaluarea nationala 2017 clasa a 8-a – problema 1 de la subiectul 3
subpunctul a)

Perimetrul dreptunghiului ABCD este:

\mathcal{P_{ABCD}}=(AB)+(BC) +(CD)+(DA)

(AB)=(CD)\ si\ (AD)=(BC)\ \Rightarrow\ \mathcal{P_{ABCD}}=2 \cdot (AB)+2 \cdot (AD)

Efectuând calculul numeric vom avea:

\mathcal{P_{ABCD}}=2 \cdot 8\sqrt{3}cm+2 \cdot 8cm\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathcal{P_{ABCD}}=16 \cdot (\sqrt{3}+1)\ cm\ }

subpunctul b)

Vom nota cu beta, măsurile unghiurilor DAE, EAF și FAB. Avem:

\beta=m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle EAF)=m(\sphericalangle FAB)

m(\sphericalangle DAB)=90^\circ\ \Rightarrow\ 3 \cdot \beta=90^\circ\ \Rightarrow\ \beta=30^\circ\ \Rightarrow\ \boxed{\ m(\sphericalangle BAF)=30^\circ\ }\ (\star)

În triunghiul dreptunghic ABC cu măsura unghiului ABC de 90 grade, vom avea tangenta unghiului BAC egală cu raportul dintre lungimea catetei opuse (BC) și lungimea catetei alăturate (AB). Vom scrie:

tg(\sphericalangle BAC)=\displaystyle\frac{(BC)}{(AB)}=\displaystyle\frac{(8cm)}{(8\sqrt{3}cm)}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ \boxed{\ m(\sphericalangle BAC)=30^\circ\ }\ (\star \star)

Din relațiile (*) și (**) va rezulta că punctul F aparține segmentului de dreaptă AC. În acest caz punctele A, F și C sunt coliniare.

subpunctul c)

În ipoteza problemei se spune că punctele D, F și B sunt coliniare. La subpunctul b) s-a demonstrat că punctele A, F și C sunt coliniare. În aceste condiții avem:

F\in(BD)\ si\ F\in (AC)\ \Rightarrow\ F=(BD) \cap (AC)

În baza principiului de congruență catetă-catetă, deoarece DA = CB și deoarece AB = BA va rezulta că triunghiurile dreptunghice DAB și CBA sunt congruente. În acest caz rezultă că măsura unghiului ADB este egală cu măsura unghiului BCA adică chiar 90 grade – 30 grade = 60 grade. Triunghiul ADF are două unghiuri cu măsuri egale de 60 grade (unghiul DAF și unghiul ADF), rezultă că al treilea unghi AFD are măsura = 180 grade – (60 grade + 60 grade) = 60 grade. Rezultă că triunghiul AFD este echilateral.

\vartriangle DAB \equiv\ \vartriangle CBA\ \Rightarrow\ \sphericalangle ADB \equiv \sphericalangle BCA\ \Rightarrow\ m(\sphericalangle ADF)=60^\circ

Deoarece AE este bisectoarea unghiului DAF in triunghiul echilateral AFD => AE este și înălțime în triunghiul echilateral AFD.

AE \perp DF

Deoarece FM paralelă cu AB, iar AB perpendiculară pe DA, rezultă că FM este perpendiculară pe DA în punctul M => FM este înălțime în triunghiul echilateral AFD.

FM \perp AD

Atunci punctul N este ortocentrul triunghiului AFD => DN perpendiculară pe AF <=> DN perpendiculară pe AC.

N=AE \cap FM\ \Rightarrow\ DN \perp AF\ \Rightarrow\ \boxed{\ DN \perp AC\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
Se cunoaște schița unui cilindru circular drept ca cel din figura alăturată. Se cunoaște că lungimea generatoarei AA’ este de 12 cm și se cunoaște lungimea diametrului AB a bazei cilindrului de 10 cm. Fie O‘ mijlocul diametrului A’B’

Concluzie:
a) Arătați că aria laterală a cilindrului este egală cu 120π (centimetri pătrați)
b) Demonstrați că lungimea segmentului A’B este mai mică decât 16 cm.
c) Calculați valoarea sinusului unghiului dintre dreapta AO’ și planul uneia dintre bazele cilindrului.

Demonstrație:
Schita unui cilindru circular drept dat la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2017.
Evaluarea nationala 2017 clasa a 8-a – problema 2 de la subiectul 3
subpunctul a)

Deoarece cilindrul este circular drept atunci bazele sunt cercuri de aceeași rază r. Vom avea:

r=\displaystyle\frac{AB}{2}\ \Rightarrow\ r=5cm

Aria laterală a cilindrului va fi:

A_{laterala}=(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot (AA')

Efectuând calcule numerice, vom obține:

A_{laterala}=(2 \cdot \pi \cdot 5cm) \cdot (12cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ A_{laterala}=120\pi\ cm^2\ }

subpunctul b)

În triunghiul A’AB care este dreptunghic în A, vom aplica Teorema lui Pitagora și vom avea:

(A'B)^2=(A'A)^2+(AB)^2\ \Rightarrow\ (A'B)=\sqrt{(A'A)^2+(AB)^2}

Efectuând calcule numerice, vom obține:

(A'B)=\sqrt{(12cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{244cm^2}=\sqrt{244}cm\ \textless\ \sqrt{256}cm=\sqrt{16^2}cm\ \Rightarrow

\boxed{\ (A'B)\ \textless\ 16\ cm\ }

subpunctul c)

A’O’ este proiecția lui AO’ pe planul determinat de baza superioară a cilindrului. Atunci unghiul dintre dreapta AO’ și planul determinat de baza superioară este chiar unghiul AO’A’

Triunghiul AO’A’ dreptunghic în A’ vom avea:

\sin{(\sphericalangle AO'A')}=\displaystyle\frac{(AA')}{(AO')}

Se știe că AA’ = 12 cm. Valoarea lui AO’ o aflăm aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul AO’A’

(AO')^2=(AA')^2+(A'O')^2\ \Rightarrow\ (AO')^2=\sqrt{(AA')^2+(A'O')^2}

Știind că A’O’ = 5 cm vom efectua calculele numerice și vom obține:

(AO')=\sqrt{(12cm)^2+(5cm)^2}=\sqrt{169cm^2}=\sqrt{169}cm=\sqrt{13^2 }cm=13cm

\sin{(\sphericalangle AO'A')}=\displaystyle\frac{12cm}{13cm}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \sin{(\sphericalangle AO'A')}=\displaystyle\frac{12}{13}\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.2, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2017. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2017 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2017 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2017 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2017 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2017, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2017 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 5081 din 31 august 2016 emis de ministerul educației naționale, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2016-2017. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 21 iunie 2017, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 6 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2017 în limbile minorităților.

Related Articles

Be the first to comment

Leave a Reply