Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2012

Rezolvare și explicații

2012 0
Piramida patrulatera regulata la evaluarea nationala 2012 clasa a 8-a.
Image Credit: © Maxim Marcel / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2012.

Exercițiile și problemele date în 2012 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de împărțire, apoi cea de adunare. Vom avea:
12 + 12:4 = 12 + 3 = 15

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea mediei aritmetice a două numere naturale 7 și 23. În acest caz media aritmetică ma este:

m_a=\displaystyle\frac{(7+23)}{2}\ \Rightarrow \boxed{\ m_a=15\ }

Exercițiul nr.3

Are ca și cerință rescrierea mulțimii A sub formă de interval, dacă se știe că:

\mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ |\ 2x \leq 4 \}\ \Rightarrow\ \mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ |\ x \leq 2 \}\ \Rightarrow \boxed{\ \mathnormal{A}=(-\infty\ ;\ 2]\ }

Exercițiul nr.4

Are ca și cerință calcularea numerică a perimetrului unui romb, dacă se știe că lungimea laturii rombului este de L = 4 cm.

\mathnormal{p}=4 \cdot L\ \Rightarrow\ \boxed{\ p=16\ cm\ }

Exercițiul nr.5

Are ca și cerință calcularea ariei totale a unui cub, dacă se cunoaște că lungimea muchiei cubului este de y = 5 cm. Cubul are 6 fețe și vom nota aria unei fețe a cubului cu A. Atunci aria totală a cubului este 6A.
\mathnormal{A_c}=6 \cdot y^2\ \Rightarrow\ \boxed{\ A_c=150\ cm^2\ }

Exercițiul nr.6

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-un grafic cu valori numerice date. Numărul X a elevilor care au obținut o notă mai mare sau egală decât 8 este:
X = 5 + 4 + 3 = 12

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Are ca și cerință desenarea unei piramide patrulatere regulate cu baza ABCD și cu vârful V. Vezi imaginea reprezentativa cu piramida patrulatera regulata.

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea mediei geometrice a două numere reale a și b. Media geometrică mg este:

\mathnormal{m_g}=\sqrt{a \cdot b}

\mathnormal{a}=\displaystyle\frac{4}{1+\sqrt{5}}

\mathnormal{b}=1+\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=1+\sqrt{5}

\mathnormal{m_g}=\sqrt{\displaystyle\frac{4}{(1+\sqrt{5})} \cdot (1+\sqrt{5})}\ \Rightarrow\ \mathnormal{m_g}=\sqrt{4}\ \Rightarrow\ \boxed{\ m_g=2\ }

Exercițiul nr.3

În acest exercițiu se cere să se calculeze numărul de fete dintr-o clasă, daca se știe că în clasă sunt 26 elevi. Se mai cunoaște faptul că dacă din clasă ar pleca 2 fete și 3 băieți, atunci numărul fetelor rămase în clasă ar fi egal cu dublul numărului băieților rămași în clasă. Vom nota cu x numărul de băieți din clasă și cu y numărul de fete din clasă.

x + y = 26
(y – 2) = 2(x-3)

Din prima ecuație avem x = (26 – y) => vom substitui pe x în a doua ecuație și vom avea:
(y – 2) = 2[(26-y)-3] => 3y = 48 => y = 16

Exercițiul nr.4

a) Are ca și cerință reprezentarea grafică a funcției de gradul 1 de forma:

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2012.
Evaluarea nationala 2012 clasa a 8-a – exercitiul 4 de la subiectul 2

f:\mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R},\ f\left(x\right)=-2x+3

Se știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x-0-y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi=f(xi)=-2xi+3, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă care reprezintă graficul funcției f(x) de mai sus.

fie x1 = 0 atunci y1 = f(x1) = -0+3 = 3 => primul punct A este de coordonate (0;3) cu notația A(0;3)
fie x2 = 1 atunci y2 = f(x2) = -2+3 = 1 => al doilea punct B este de coordonate (1;1) cu notația B(1;1)

Dreapta AB în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

b) La al doilea subpunct al exercițiului se cere să se determine coordonatele punctului de pe dreaptă, care are (abscisa) =-(ordonata). Vom nota punctul respectiv cu M și vom considera că are coordonatele (a, -a). Va trebui să îl determinăm pe a.
Se știe că: f(a) = –a => -2a +3 = -a => a = 3 => M(3; -3)

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următoarea expresie E(x) = 9, oricare ar fi x un număr real cu excepția numerelor -1 și 1.

\mathit{E(x)}=\bigg(1+\displaystyle\frac{2-x}{x+1}\bigg) : \displaystyle\frac{x-1}{(2x+1)^2-(x+2)^2}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x+1+2-x}{x+1} \cdot \displaystyle\frac{(2x+1)^2-(x+2)^2}{x-1}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{3}{x+1} \cdot \displaystyle\frac{[(2x+1)-(x+2)] \cdot [(2x+1)+(x+2)]}{x-1}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{3}{x+1} \cdot \displaystyle\frac{(x-1) \cdot (3x+3)}{(x-1)}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{3}{x+1} \cdot (3x+3)\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{3}{(x+1)} \cdot 3(x+1)\ \Rightarrow

\boxed{\ \mathit{E(x)}=9\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
Se cunoaște schița unei prisme drepte cu baza un pătrat. Înălțimea prismei este de AA’ = 40 cm, iar latura bazei are lungimea de AB = 10 cm. În vază se toarnă 3 litri de apă. După un timp, în vază se introduc 4 cuburi de piatră fiecare cu lungimea muchiei de 4 cm.

Concluzie:
a) Calculați aria laterală a vazei.
b) Calculați înălțimea la care se ridică apa în vază (fără cuburile de piatră).
c) Calculați cu câți centimetri crește nivelul apei (după introducerea cuburilor de piatră).

Demonstrație:

a) Notăm cu A aria laterală a vazei.

\mathcal{A}=4 \cdot (AB) \cdot (AA')

Calcul numeric:
\mathcal{A}=4 \cdot (10\ cm) \cdot (40\ cm)\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathcal{A}=1600\ cm^2\ }

b) Volumul apei de 3 litri îl vom exprima în centimetrii cubi.

V=3\ litri=3\ dm^3=3 \cdot (10\ cm)^3=3000\ cm^3

V=h \cdot (Aria_{bazei})=h \cdot (AB)^2\ \Rightarrow\ h=\displaystyle\frac{V}{(AB)^2}

Calcul numeric:
h=\displaystyle\frac{3000\ cm^3}{(10\ cm)^2}\ \Rightarrow\ h=\displaystyle\frac{3000\ cm^3}{100\ cm^2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ h=30\ cm\ }

c) Creșterea nivelului apei în vază este dată de introducerea în apa din vază a cuburilor de piatră. Pietrele introduse vor dezlocui un volum de apă identic cu volumul pietrelor. Dacă notăm cu Δh creșterea înălțimii nivelului de apă și cu x lungimea muchiei unui cub de piatră (x = 4 cm) vom putea scrie:

V_{(4\ pietre)}=V_{(apa\ dezlocuita)}

4 \cdot x^3=\Delta h \cdot (Aria_{bazei})\ \Rightarrow\ 4x^3=\Delta h \cdot (AB)^2\ \Rightarrow\ \Delta h=\displaystyle\frac{4x^3}{(AB)^2}

Calcul numeric:
\Delta h= displaystyle\frac{4 \cdot (4\ cm)^3}{(10\ cm)^2}=\displaystyle\frac{256\ cm^3}{100\ cm^2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \Delta h=2,56\ cm\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
Se cunoaște reprezentarea schematică a unei plăci de gresie în formă de dreptunghi ABCD. Se știe că lungimile laturilor dreptunghiului sunt: AB = 28 cm și BC = 21 cm. Punctul E reprezintă mijlocul laturii CD.

Concluzie:
a) Calculați lungimea segmentului (DB).
b) Determinați aria triunghiului EAB.
c) Arătați că sinusul unghiului AEB este egal cu 12/13.

Demonstrație:
Figura geometrica la subiectul 3 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2012.
Evaluarea nationala 2012 clasa a 8-a – problema 2 de la subiectul 3
subpunctul a)

Lungimea segmentului DB o calculăm utilizând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD.

DB^2=AD^2+AB^2\ \Rightarrow\ DB=\sqrt{AD^2+AB^2}

AD = BC deoarece ABCD este un dreptunghi. Efectuând calculele numerice, vom avea:

DB=\sqrt{(21\ cm)^2+(28\ cm)^2}=\sqrt{1225\ cm^2}=\sqrt{(35\ cm)^2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ DB=35\ cm\ }

subpunctul b)

Notăm cu A = aria triunghiului EAB căutată.

\mathcal{A}=\displaystyle\frac{(Baza) \cdot (Inaltimea)}{2}\ ,\ unde\ (AB)=Baza\ ,\ (BC)=(AB)=Inaltimea\ \Rightarrow

\mathcal{A}=\displaystyle\frac{(AB) \cdot (BC)}{2}

Calcul numeric:

\mathcal{A}=\displaystyle\frac{(28\ cm) \cdot (21\ cm)}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathcal{A}=294\ cm^2\ }

subpunctul c)

Mai sus s-a calculat aria triunghiului EAB. Vom folosi altă formulă pentru calculul ariei triunghiului, care să includă sinusul unghiului AEB. Deoarece triunghiul EAB este isoscel, avem:

\mathcal{A}=\displaystyle\frac{(AE) \cdot (BE) \cdot \sin \widehat{AEB}}{2}\ \Rightarrow\ \sin \widehat{AEB}=\displaystyle\frac{2 \cdot \mathcal{A}}{(AE)^2}\ \Rightarrow

\boxed{\ \sin \widehat{AEB}=\displaystyle\frac{(AB) \cdot (BC)}{(AE)^2}\ }\ (\ast)

Folosim teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AEG:

(AE)^2=(EG)^2+(AG)^2\ \Rightarrow\ (AE)^2=(BC)^2+(\displaystyle\frac{AB}{2})^2\ \Rightarrow

(AE)^2=(BC)^2+\displaystyle\frac{(AB)^2}{4}\ \Rightarrow\ \boxed{\ (AE)^2=\displaystyle\frac{(AB)^2+4 \cdot (BC)^2}{4}\ }\ (\ast\ \ast)

Din relațiile (*) și (* *) va rezulta că sinusul unghiului AEB este:

\sin \widehat{AEB}=\displaystyle\frac{4 \cdot (AB) \cdot (BC)}{(AB)^2+4 \cdot (BC)^2}

Calcul numeric:

\sin \widehat{AEB}=\displaystyle\frac{4 \cdot (28\ cm) \cdot (21\ cm)}{(28\ cm)^2+4 \cdot (21\ cm)^2}=\displaystyle\frac{4 \cdot 28 \cdot 21\ cm^2}{784\ cm^2+4 \cdot 441\ cm^2}

\sin \widehat{AEB}=\displaystyle\frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7\ cm^2}{2548\ cm^2}=\displaystyle \frac{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 \ cm^2}{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13 \ cm^2}

\ Se \ adevereste \ ca\ :\ \boxed{\ \sin \widehat{AEB}=\displaystyle\frac{12}{13}\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.2, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2012. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2012 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2012 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2012 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2012 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2012, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2012 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 5219 din 29 august 2011 emis de ministerul educației, cercetării, tineretului și sportului, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2011-2012. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 27 iunie 2012, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 2 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de teste în limbile minorităților.

Related Articles

Be the first to comment

Leave a Reply