Test Rezolvat la Evaluarea Națională Clasa 8 sesiunea 2015

Rezolvare și explicații

2015 0
Piramida patrulatera regulata la evaluarea nationala 2015 clasa a 8-a.
Image Credit: © Maxim Marcel / Matematika.ro / CC BY-SA 3.0

La finalul acestui articol veți găsi un model complet în format PDF de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2015.

Exercițiile și problemele date în 2015 la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a, la disciplina matematică

Subiectul I (pe foaia de examen se trec doar rezultatele)

Exercițiul nr.1

Se referă la efectuarea unui calcul algebric simplu, cu numere naturale, la care trebuie să se cunoască ordinea efectuării operațiilor. În acest exercițiu, prima dată se efectuează operația de înmulțire, apoi cea de scădere. Vom avea:

10 \cdot 2-20=20-20=0

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea unui număr a dacă se știe că a supra 4 este egal cu 3 supra 2:

\displaystyle\frac{a}{4}=\displaystyle\frac{3}{2}\ \Rightarrow\ a=\displaystyle\frac{4 \cdot 3}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ a=6\ }

Exercițiul nr.3

Cel mai mare număr natural n care aparține intervalului [1; 5] este egal cu 5:

n\in \mathbb{N}\ si\ n\in [0\ ;\ 5]\ \Rightarrow\ \boxed{\ n_{max}=5\ }

Exercițiul nr.4

Un pătrat are lungimea unei laturi l de 6 cm. Perimetrul pătratului ABCD este 4xl:

\mathnormal{P_{ABCD}}=4 \cdot l\ \Rightarrow\ \mathnormal{P_{ABCD}}=4 \cdot 6\ cm\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathnormal{P_{ABCD}}=24\ cm\ }

Exercițiul nr.5

Se consideră un cub ABCDEFGH. Măsura unghiului determinat de două muchii alăturate, de pe aceeași față a cubului, AB și BF este egală cu 90 grade, deoarece sunt laturile alăturate ale unui pătrat.

Exercițiul nr.6

Are ca și cerință identificarea și extragerea datelor dintr-o diagramă coloană.

Pe axa absciselor sunt reprezentate notele acordate, iar pe axa ordonatelor sunt reprezentați numărul de elevi. În exemplul dat, sunt 3 elevi la care s-au acordat nota 10.

Subiectul II (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Exercițiul nr.1

Schita unui paralelipiped dreptunghic dat la EN clasa a 8-a in anul 2015.
Evaluarea nationala 2015 clasa a 8-a – problema 1 de la subiectul 2

Are ca și cerință desenarea unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD. Schița paralelipipedului este desenată în figura alăturată.

Exercițiul nr.2

Se referă la calcularea mediei aritmetice a două numere reale a și b, unde numerele a și b sunt multiplii de două cifre a lui 40. Cele două numere a și b sunt:

a=40

b=80

Media aritmetică ma este:

\mathnormal{m_a}=\displaystyle\frac{a+b}{2}

Calcul numeric:

\mathnormal{m_a}=\displaystyle\frac{40+80}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathnormal{m_a}=60\ }

Exercițiul nr.3

În acest exercițiu se cere să se calculeze ce sumă de bani a cheltuit Mihai în prima zi. Se știe că Mihai a cheltui o sumă de bani în două zile. În prima zi a cheltuit 30% din întreaga sumă iar în a doua zi a cheltuit restul de 35 lei.

Vom nota cu X = suma totală de bani ce o cheltuie Mihai în cele două zile.

Vom putea scrie:

30\% \cdot x+35\ lei=x\ \Rightarrow\ x=\displaystyle\frac{35\ lei}{(1-30\%)}\ \Rightarrow\ x=\displaystyle\frac{35\ lei}{70\%}\ \Rightarrow\ x=\displaystyle \frac{35\ lei}{\displaystyle\frac{70}{100}}\ \Rightarrow

x=\displaystyle\frac{3500\ lei}{70}\ \Rightarrow\ \boxed{\ x=50\ lei\ }

Dacă în a doua zi, Mihai a cheltuit 35 lei, atunci în prima zi a cheltuit 50 lei – 35 lei = 15 lei.

Exercițiul nr.4

Graficul functiei f(x) la subiectul 2 de la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2015.
Evaluarea nationala 2015 clasa a 8-a – problema 4 de la subiectul 2

Se consideră funcția definită în mulțimea numerelor reale cu valori în mulțimea numerelor reale:

f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f\left(x\right)=x+2

a) Să se calculeze valoarea f(-2)

Înlocuim pe x cu -2 și obținem f(-2) = -2 + 2 = 0

b) Reprezentați grafic a funcția f de gradul 1 de mai sus într-un sistem de coordonate cartezian x0y.

Se știe că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În sistemul de coordonate cartezian x0y, vom găsi două puncte distincte cu coordonate diferite (x1, y1) și (x2, y2), care verifică ecuația yi = f(xi) = xi + 2, unde i=1 sau i=2. Prin aceste două puncte care le notăm cu A și cu B de coordonate (x1, y1) respectiv (x2, y2) va trece o dreaptă care reprezintă graficul funcției f(x) de mai sus.

fie x1 = -2 atunci y1 = f(x1) = -2 +2 = 0 => primul punct A este de coordonate (-2; 0) cu notația A(-2; 0)
fie x2 = 0 atunci y2 = f(x2) = 0 + 2 = 2 => al doilea punct B este de coordonate (0; 2) cu notația B(0; 2)

Dreapta AB în sistemul de coordonate x0y reprezintă graficul funcției f.

Exercițiul nr.5

În acest exercițiu trebuie să se arate, prin calcule matematice că următoarea expresie E(x) = -1, oricare ar fi x un număr real cu excepția numerelor din mulțimea {-1; 0; 7}.

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x^2-49}{x^2-7 \cdot x}-\displaystyle\frac{2 \cdot x+7}{x^2+x} : \displaystyle\frac{1}{x+1}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x^2-7^2}{x \cdot (x-7)}-\displaystyle\frac{2 \cdot x+7}{x \cdot (x+1)} \cdot \displaystyle\frac{(x+1)}{1}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{(x-7) \cdot (x+7)}{x \cdot (x-7)}-\displaystyle\frac{2 \cdot x+7}{x}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x+7}{x}-\displaystyle\frac{2 \cdot x+7}{x}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{x+7-2 \cdot x-7}{x}\ \Rightarrow

\mathit{E(x)}=\displaystyle\frac{-x}{x}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathit{E(x)}=-1\ }

Subiectul III (pe foaia de examen se trec rezolvările complete)

Problema nr.1

Ipoteză:
Se cunoaște schița unui teren în formă de dreptunghi ABCD ce are lungimea laturii AD = 100 m și lungimea laturii AB = 150 m. Se cunoaște faptul că punctul M este mijlocul laturii AD iar punctul N este situat pe latura CD astfel încât DN = 2*NC

Concluzie:
a) Arătați că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 1,5 hectare.
b) Demonstrați că triunghiul MNB este isoscel.
c) Calculați măsura unghiului format din dreptele MN și NB.

Demonstrație:
Figura geometrica la problema 1 din subiectul 3 data la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a in anul 2015.
Evaluarea nationala 2015 clasa a 8-a – problema 1 de la subiectul 3
subpunctul a)

Aria suprafeței dreptunghiului ABCD este:

A_{ABCD}=AB \cdot AD

Efectuând calculul numeric, vom avea:

A_{ABCD}=(150\ m) \cdot (100\ m)\ \Rightarrow\ A_{ABCD}=15000\ m^2\ \Rightarrow\ \boxed{\ A_{ABCD}=1,5\ ha\ }

Deoarece\ se\ stie\ ca\ 1\ ha=(100\ m)^2=10000\ m^2

subpunctul b)

Notăm cu x lungimea segmentului NC.
NC = x
DN = 2x
DC = 3x = 150 m => x = 50 m

NC = 50 m
DN = 100 m

Deoarece DA = 100 m, iar M este mijlocul lui DA => DM = 50 m.

Se observă că DM = CN = 50 m și DN = CB = 100 m. Deoarece măsurile unghiurilor MDN și NCB sunt de 90 grade, rezultă în baza criteriului de congruență catetă-catetă, că triunghiurile dreptunghice DMN și CNB sunt congruente. De aici rezultă că MN = NB, deci triunghiul MNB este isoscel.

subpunctul c)

Notăm cu:
γ = măsura unghiului format din dreptele MN și BN
α = măsura unghiului DNM
β = măsura unghiului DMN

Deoarece triunghiul DMN este dreptunghic în D, vom avea:
\alpha\ +\ \beta=90^\circ\ (\star)

La subpunctul b) s-a demonstrat că triunghiul DMN este congruent cu triunghiul CNB. Atunci unghiurile DMN și CNB vor fi conguente și vor avea măsura de β grade. În mod analog unghiurile DNM și CBN vor fi conguente și vor avea măsura de α grade.

Se știe că suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct, de aceeași parte a unei drepte este de 180 grade.
Vom putea scrie că în jurul punctului N, de aceeași parte a dreptei DC vom avea:
\alpha\ +\ \gamma\ +\ \beta=180^\circ\ (\star\ \star)

Din relațiile (*) și (* *) rezultă că măsura unghiului γ este de 90 grade:

\boxed{\ \gamma=90^\circ\ }

Problema nr.2

Ipoteză:
În figura alăturată este reprezentată schematic o piramidă patrulateră regulată VABCD. Se cunosc lungimile AB=6\ dm\ si\ VA=3 \cdot \sqrt{5}\ dm
Se consideră punctul M mijlocul laturii AD.

Concluzie:
a) Demonstrați că lungimea apotemei VM este de 6 dm.
b) Calculați câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței laterale a piramidei, dacă se cunoaște faptul că pentru vopsirea unui decimetru pătrat de suprafață se folosește 30 grame de vopsea.
c) Arătați că sinusul unghiului format dintre planele (VAD) și (VBC) este egal cu \sqrt{3}/2

Demonstrație:
Figura geometrica la problema 2 din subiectul 3 data la Evaluarea Nationala de clasa a 8-a din anul 2015.
Evaluarea nationala 2015 clasa a 8-a – problema 2 de la subiectul 3
subpunctul a)

Triunghiul VDA este isoscel. Punctul M fiind mijlocul segmentului DA => VM este mediană în triunghiul isoscel VDA. Atunci VM este și înălțime în triunghiul VDA => triunghiul VMD este dreptunghic în M. Aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMD vom obține:

(VD)^2=(VM)^2+(DM)^2\ \Rightarrow\ VM=\sqrt{(VD)^2-(DM)^2}\ \Rightarrow

Efectuând calculele numerice:

(VD)=(VA)=3 \cdot \sqrt{5}\ dm

(DM)=\displaystyle\frac{(DA)}{2}=3 \ dm,\ deoarece\ ABCD\ este\ patrat

VM=\sqrt{(3 \cdot \sqrt{5}\ dm)^2-(3\ dm)^2}\ \Rightarrow\ VM=\sqrt{9 \cdot 5 \cdot dm^2-9 \cdot dm^2}\ \Rightarrow

VM=\sqrt{9 \cdot 5-9 }\ dm\ \Rightarrow\ VM=\sqrt{9 \cdot 4}\ dm\ \Rightarrow\ VM=3 \cdot 2\ dm\ \Rightarrow

Lungimea apotemei VM este:

\boxed{\ VM=6\ dm\ }

subpunctul b)

Aria laterală a piramidei patrulatere regulate VABCD este egală cu suma tuturor ariilor fețelor laterale ale piramidei. Fețele laterale ale piramidei regulate sunt date de triunghiuri isoscele congruente. Baza ABCD este un pătrat. Dacă notăm cu A = aria suprafeței triunghiului isoscel VDA, atunci aria laterala a piramidei VABCD va fi:

A_{laterala}=4 \cdot A

A=\displaystyle\frac{(VM) \cdot (AD)}{2}

Se știe că VM = 6 dm și AD = 6 dm. Vom avea:

A = \displaystyle\frac{(6\ dm) \cdot (6\ dm)}{2}\ \Rightarrow\ A=18\ dm^2\ \Rightarrow

A_{laterala}=4 \cdot 18\ dm^2\ \Rightarrow\ \boxed{\ A_{laterala}=72\ dm^2\ }

Cu cât este mai mare suprafața de vopsit, cu atât mai multă vopsea este necesară pentru a vopsi acea suprafață. În concluzie, aceste două mărimi sunt direct proporționale. Dacă notăm cu ∑ masa necesară de vopsea (măsurată în grame) pentru a vopsi suprafața laterală a piramidei, vom putea face raționamentul următor:

  1. La o arie de 1 decimetru pătrat ._._._._._._._._._. corespunde o cantitate (masă) de vopsea m = 30 grame
  2. La o arie egala cu Aria laterală ._._._._._._._._._. corespunde o cantitate (masă) de vopsea ∑

Pentru corespondența 1. și 2. efectuăm regula de 3 simple și vom obține:

\Sigma=\displaystyle\frac{A_{laterala} \cdot m}{1\ dm^2}\ \Rightarrow\ \Sigma=\displaystyle\frac{72\ dm^2 \cdot 30\ g}{1\ dm^2}\ \Rightarrow

Efectuând calculele numerice, vom obține:

\boxed{\ \Sigma=2160\ g\ }

subpunctul c)

Fie dreapta d dată de intersecția planelor (VAD) și (VBC).

Se cunoaște faptul că dacă două drepte paralele a și b sunt situate respectiv în două plane secante α și β care se intersectează după o dreaptă d, atunci dreapta d este paralelă cu dreptele a și cu b.

Dacă transpunem conținutul acestei leme la problema noastră, vom avea:

AD \parallel BC\ deoarece\ ABCD\ este\ un\ patrat
AD \subset (VAD)
BC \subset (VBC)
d=(VAD) \cap (VBC)

\Rightarrow\ d \parallel AD\ si\ d \parallel BC

Fie punctul N mijlocul laturii BC. Se poate demonstra în mod analogic ca la punctul a) că VN este perpendiculară pe BC în punctul N

Demonstrăm că triunghiul VMN este echilateral:

La punctul a) s-a demonstrat că lungimea segmentului VM este de 6 dm. În mod analogic se poate demonstra că lungimea segmentului VN este de 6 dm. Deoarece segmentul ON este perpendicular pe DA (in punctul M), iar ON este perpendicular pe BC (in punctul N) => M, O, N coliniare și ABNM este dreptunghi. Rezultă că lungimea segmentului MN = AB = 6 dm.

VM = VN = MN = 6 dm => triunghiul VMN este echilateral => măsura unghiului MVN este de 60 grade deci măsura unghiului dintre planele (VAD) și (VBC) este de 60 grade. Se cunoaște faptul că:

\sin 60^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\ \sin \sphericalangle \Big( (VAD),(VBC) \Big)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\ }

Model de test și rezolvare

Varianta de test nr.7, întocmită de Centrul Național de Evaluare și Examinare, a fost aleasă prin extragere pentru a fi dată la proba scrisă de matematică din cadrul examenului de evaluare națională clasa 8 sesiunea 2015. Modelul de test cu subiectele de examen date, precum și varianta noastră de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2015 sunt accesibile aici:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2015 Subiect Examen

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2015 Test Rezolvat

În modelul de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2015 de mai sus, se expune doar punctul de vedere al site-ului Matematika.ro. Suntem convinși că există mai multe posibilități de răspuns și mai multe metode de rezolvare la exercițiile și problemele prezentate. Dacă comparăm testul rezolvat în varianta PDF de mai sus, cu testul rezolvat în varianta prezentului articol, este posibil ca să existe diferențe de abordare în rezolvarea exercițiilor sau a problemelor.

În cazul în care doriți să aflați poziția oficială de rezolvare la testul de Evaluare Națională clasa a 8-a sesiunea 2015, vă rugăm să contactați Centrul Național de Evaluare și Examinare aici sau să accesați baremul oficial de corectare și de notare:

Evaluare Nationala Clasa 8 – 2015 Barem Corectare

Alte informații

Ordinul 4431 din 29 august 2014 emis de ministerul educației naționale, reglementează cadrul legal de organizare și desfășurare a evaluării naționale pentru elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2014-2015. În anexele ordinului găsim: metodologia, calendarul și programele pentru disciplinele la care se susțin examenele de evaluare națională clasa a 8-a. Prin tragerea la sorți din data de 24 iunie 2015, la disciplina matematică, a fost extras testul cu numărul 7 pe baza căruia au fost evaluați elevii claselor a VIII-a. Pentru mai multe informații vă rugăm să accesați siteul Ministerului Educației Naționale. Tot aici puteți solicita modelele de test rezolvat la evaluarea națională clasa 8 sesiunea 2015 în limbile minorităților.

Related Articles

Be the first to comment

Leave a Reply