Probleme rezolvate prin metoda falsei ipoteze

În secțiunea de teorie și explicații a metodelor aritmetice, au fost propuse spre rezolvare câteva probleme. Aceste probleme rezolvate prin metoda falsei ipoteze, sunt prezentate în detaliu mai jos. Raționamentele sunt în conformitate cu programa școlară de matematică pentru clasa a 5-a. Trebuie să fiți conștienți că aceste tipuri de probleme se pot rezolva mult mai ușor de elevii claselor a 7-a sau mai mari care cunosc metode de rezolvare a un sistem de 2 ecuații liniare cu două necunoscute. 

Enunț problema 1

La o piesă de teatru s-au vândut toate cele 180 bilete disponibile și s-au încasat în total 12800 lei. Știind că prețul unui bilet la lojă este de 100 lei iar prețul unui bilet în sală este de 60 lei, calculați numărul de scaune sunt din sală și numărul de scaune de la lojă.

Rezolvare problema 1

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate biletele care se vând la teatru sunt pentru locurile de la lojă. În acest caz s-ar încasa în total:
180 x (100 lei) = 18000 lei.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu suma totală reală încasată, și se obține diferența:
(18000 lei) – (12800 lei) = 5200 lei.

Diferența provine din faptul că toate biletele din sală cu prețul de 60 lei le-am considerat ca fiind cu un preț de 100 lei, deci mai scumpe cu 40 lei fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de locuri (la care am adaugat în mod fals câte 40 lei), a apărut un plusul de 5200 lei (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea:
(5200 lei) : (40 lei) = 130

Deci vom avem 130 locuri. Acestea vor fi chiar scaunele din sală la care prețul unui bilet este de 60 lei.

Acum vom putea calcula numărul celălalt de locuri, adică cele de la lojă, la care prețul este de 100 lei bucata:
180 – 130 = 50

Verificare:
130 x (60 lei) + 50 x (100 lei) = 7800 lei + 5000 lei = 12800 lei

 

Enunț problema 2

Într-un cartier rezidențial s-au construit 70 de case noi. Se știe că sunt 250 camere în total, iar casele pot fi cu 3 camere sau cu 5 camere fiecare. Câte case cu 5 camere sunt?

Rezolvare problema 2

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate casele din cartier au câte 5 camere fiecare. În acest caz în cartierul rezidențial ar fi:
70 x (5 camere) = 350 camere.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu suma totală reală de camere din cartier, și se obține diferența:
(350 camere) – (250 camere) = 100 camere.

Diferența provine din faptul că toate casele de 3 camere le-am considerat ca având 5 camere, deci mai mari cu 2 camere fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de case (la care am adaugat în mod fals câte 2 camere), a apărut plusul de 100 camere (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea:
(100 camere) : (2 camere) = 50

Deci vom avem 50 de case. Acestea vor fi chiar casele cu 3 camere fiecare.

Acum vom putea calcula numărul celălalt de case, adică cele cu 5 camere fiecare:
70 – 50 = 20

Verificare:
50 x (3 camere) + 20 x (5 camere) = 150 camere + 100 camere = 250 camere

 

Enunț problema 3

Mihai are 27 caiete. Caietele pot fi cu 48 file sau cu 100 file. Dacă toate caietele conțin 1764 file, calculați câte caiete cu 100 file sunt.

Rezolvare problema 3

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate caietele lui Mihai au câte 100 file fiecare. În acest caz caietele lui Mihai ar avea:
27 x (100 file) = 2700 file.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu suma totală reală de file, și se obține diferența:
(2700 file) – (1764 file) = 936 file.

Diferența provine din faptul că toate caietele de 48 file le-am considerat ca având 100 file, deci mai mari cu 52 file fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de caiete (la care am adaugat în mod fals câte 52 file), a apărut plusul de 936 file (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea:
(936 file) : (52 file) = 18

Deci vom avem 18 caiete. Acestea vor fi caietele cu 48 file fiecare.

Acum vom putea calcula numărul celălalt de caiete, adică cele cu 100 file fiecare:
27 – 18 = 9

Verificare:
18 x (48 file) + 9 x (100 file) = 864 file + 900 file = 1764 file

 

Enunț problema 4

În cadrul programului național “Școala altfel”, elevii unei clase au participat o zi la cules de cireșe. Aceștia au cules o cantitate de 110 kg cireșe. Pentru a depozita cireșele, șeful fermei le-a dat elevilor un număr de 30 lădițe în care încap 3 kg sau 5 kg de cireșe. Calculați câte lădițe de fiecare tip au primit elevii.

Rezolvare problema 4

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate lădițele primite de elevi sunt cele în care încap 5 kg de cireșe. În acest caz, în toate lădițe ar încăpea:
30 x (5 kg) = 150 kg.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu cantitatea totală reală de cireșe culese, și se obține diferența:
(150 kg) – (110 kg) = 40 kg.

Diferența provine din faptul că toate lădițele în care încap 3 kg de cireșe le-am considerat ca și cele în care încap 5 kg de cireșe, deci mai încăpătoare (mai mari) cu 2 kg fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de lădițe (la care am adaugat în mod fals câte 2 kg), a apărut plusul de 40 kg (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea:
(40 kg) : (2 kg) = 20

Deci vom avem 20 lădițe. Acestea vor fi lădițele în care încap 3 kg de cireșe.

Acum vom putea calcula numărul celălalt de lădițe, adică cele în care încap 5 kg de cireșe:
30 – 20 = 10

Verificare:
20 x (3 kg) + 10 x (5 kg) = 60 kg + 50 kg = 110 kg.

 

Enunț problema 5

Anda are în portofelul ei 91 lei sub formă de bancnote de 1 leu și bancnote de 5 lei. Dacă se cunoaște faptul că sunt în total 27 bancnote, să se calculeze câte bancnote de fiecare tip sunt?

Rezolvare problema 5

Presupunem (pe baza unei ipoteze false) că toate bancnotele din portofel sunt de 5 lei fiecare. În acest caz, în portofel avem un total de:
27 x (5 lei) = 135 lei.

Comparăm rezultatul obținut (în baza ipotezei false) cu suma totală reală de lei din portofel, și se obține diferența:
(135 lei) – (91 lei) = 44 lei.

Diferența provine din faptul că toate bancnotele de 1 leu din portofel le-am considerat ca fiind de 5 lei fiecare, deci mai valoroase cu 4 lei fiecare.

Acum vom socoti la câte astfel de bancnote (pe care le-am considerat în mod fals mai valoroase cu 4 lei fiecare), a apărut plusul de 44 lei (în baza ipotezei false). Pentru acest lucru vom face împărțirea:
(44 lei) : (4 lei) = 11

Deci vom avem 11 bancnote. Acestea vor fi bancnotele de 1 leu.

Acum vom putea calcula numărul celălalt de bancnote, adică cele de 5 lei:
27 – 11 = 16

Verificare:
11 x (1 leu) + 16 x (5 lei) = 11 lei + 80 lei = 91 lei.

Alte probleme rezolvate prin metoda falsei ipoteze

Dacă doriți să răsfoiți și alte probleme rezolvate prin metoda falsei ipoteze, puteți vizualiza pagina de blog a profesorului de matematică Andrei Horvat-Marc. Succes!